Question

Точка движется по окружности радиуса R = 2 м согласно уравнению S=2t^3. В какой момент времени t нормальное ускорение будет равно тангенциальному?

Answer 1

Ответ: при t=0 и при t=∛(2/3).

Объяснение:

Скорость тела v=ds/dt=6*t², тангенциальное ускорение a1=dv/dt=12*t, нормальное ускорение a2=v²/R=36*t⁴/R=36*t⁴/2=18*t⁴. Из равенства a1=a2 следует уравнение 12*t=18*t⁴. Решая его, находим t=0 и t=∛(2/3).

Answer 2

Начнем с выражения для радиуса-вектора точки на окружности в зависимости от времени:

$s = 2t^3.$

Здесь $s$ - длина дуги, пройденной точкой по окружности, а $t$ - время.

Нормальное ускорение $a_n$ можно найти как вторую производную радиуса-вектора $s$ по времени:

$a_n = \frac{d^2s}{dt^2}.$

Тангенциальное ускорение $a_t$ равно производной радиуса-вектора по времени, умноженной на квадрат скорости точки:

$a_t = \frac{ds}{dt} \cdot v^2.$

Скорость $v$ точки можно найти как первую производную радиуса-вектора $s$ по времени:

$v = \frac{ds}{dt}.$

Теперь мы имеем все необходимые выражения. Подставим их в равенство $a_n = a_t$ и решим уравнение относительно $t$:

$\frac{d^2s}{dt^2} = \frac{ds}{dt} \cdot \left(\frac{ds}{dt}\right)^2.$

Упростим уравнение:

$2\frac{d^2s}{dt^2} = \left(\frac{ds}{dt}\right)^3.$

Подставим выражение для $s = 2t^3$ и его производные:

$2 \cdot 6t = (6t^2)^3.$

Упростим еще:

$12t = 216t^6.$

Теперь можно выразить $t$:

$216t^6 - 12t = 0.$

$12t(18t^5 - 1) = 0.$

Таким образом, у нас есть два возможных значения $t$:

1. $t = 0$ - начальный момент времени.
2. $18t^5 - 1 = 0$, что означает $t^5 = \frac{1}{18}$, а значит $t = \sqrt[5]{\frac{1}{18}} \approx 0.527$ секунд.

Поскольку в физическом контексте отрицательное время не имеет смысла, мы выбираем положительное значение времени $t \approx 0.527$ секунды.

Итак, в момент времени $t \approx 0.527$ секунд нормальное ускорение точки на окружности будет равно тангенциальному ускорению.