Question

Платформа в виде горизонтального диска массой М = 200 кг и радиусом R = 1 м вращается вокруг вертикальной оси с частотой п = 6 об/мин. На краю платформы стоит человек массой т = 75 кг. Человек ловит мяч массой т0 = 1 кг, летящий горизонтально со скоростью υ = 5 м/с на расстоянии, равном радиусу платформы, от ее центра. С какой угловой скоростью ω будет вращаться платформа? Рассмотреть два случая направления движения мяча (по направлению движения платформы и в противоположном направлении)

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

J1=M*R^2/2 - момент инерции диска

J2= т*R^2 - момент инерции человека

J3= т0*R^2 - момент инерции мяча

п = 6 об/мин.  = 6 об/60 сек. = 0,1 об/сек.

w0=2*pi*n

решение 1 - мяч летит попутно с вращающимся диском

J1*w0+J2*w0+m*v*R=J1*w+J2*w+J3*w - закон сохранения момента импульса

w = (J1*w0+J2*w0+m*v*R)/(J1+J2+J3)

w = (M*R^2/2*w0+т*R^2*w0+m*v*R)/(M*R^2/2+т*R^2+т0*R^2)

w = (M/2*w0+т*w0+m*v/R)/(M/2+т+т0)

w = ((M/2+т)*2*pi*n+m*v/R)/(M/2+т+т0)

w = ((200/2+75)*2*3,14*0,1+1*5/1)/(200/2+75+1)=0,652840909 ~ 0,65 рад/сек

решение 2 - мяч летит навстречу к вращающемуся диску

J1*w0+J2*w0-m*v*R=J1*w+J2*w+J3*w

w = (J1*w0+J2*w0-m*v*R)/(J1+J2+J3)

w = (M*R^2/2*w0+т*R^2*w0-m*v*R)/(M*R^2/2+т*R^2+т0*R^2)

w = (M/2*w0+т*w0-m*v/R)/(M/2+т+т0)

w = ((M/2+т)*2*pi*n-m*v/R)/(M/2+т+т0)

w = ((200/2+75)*2*3,14*0,1-1*5/1)/(200/2+75+1)=0,596022727

~ 0,60 рад/сек  

Answer 2

Чтобы рассчитать угловую скорость вращения платформы, нам нужно применить закон сохранения углового момента. Угловой момент системы до и после ловли мяча должен оставаться постоянным. Угловой момент определяется как произведение момента инерции и угловой скорости.

Сначала найдем момент инерции системы платформы и человека. Момент инерции платформы можно рассчитать для горизонтального диска как:

$I_{\text{платформы}} = \frac{1}{2}MR^2$

где $M = 200 \, \text{кг}$ - масса платформы, $R = 1 \, \text{м}$ - радиус платформы.

Теперь рассмотрим момент инерции человека. Чтобы учесть его движение по краю платформы, мы будем использовать параллельную осям теорему Стеи́нера, которая гласит:

$I_{\text{человека}} = I_{\text{человека, точка О}} + mt^2$

где $I_{\text{человека, точка О}}$ - момент инерции человека относительно оси вращения платформы, которая проходит через его центр масс, $m = 75 \, \text{кг}$ - масса человека, $t = 1 \, \text{м}$ - радиус платформы.

Теперь мы можем рассчитать момент инерции человека:

$I_{\text{человека}} = I_{\text{человека, точка О}} + mt^2$ $I_{\text{человека}} = \frac{1}{2}mt^2 + mt^2$ $I_{\text{человека}} = \frac{3}{2}mt^2$

Теперь мы можем рассчитать угловой момент системы до и после ловли мяча. Пусть $L$ - угловой момент системы до ловли мяча, а $L'$ - угловой момент после ловли мяча. Так как угловой момент должен оставаться постоянным, то $L = L'$.

До ловли мяча угловой момент системы равен сумме угловых моментов платформы и человека:

$L = I_{\text{платформы}}\omega$ $L = \frac{1}{2}MR^2\omega$

После ловли мяча угловой момент системы равен сумме угловых моментов платформы, человека и мяча:

$L' = I_{\text{платформы}}\omega + I_{\text{человека}}\omega + I_{\text{мяча}}\omega$

Известно, что момент инерции мяча $I_{\text{мяча}} = mr^2$, где $r = R$ (расстояние мяча от центра платформы).

Теперь у нас есть два случая:

1. Мяч летит в направлении движения платформы. В этом случае скорость мяча $v_{\text{мяча}} = 5 \, \text{м/с}$ добавляется к скорости платформы $\omega R$:

$v_{\text{мяча}} = \omega R$ $5 \, \text{м/с} = \omega \cdot 1 \, \text{м}$

Решим уравнение для $\omega$:

$\omega = 5 \, \text{рад/с}$

2. Мяч летит в противоположном направлении движения платформы. В этом случае скорость мяча $v_{\text{мяча}} = 5 \, \text{м/с}$ вычитается из скорости платформы $\omega R$:

$v_{\text{мяча}} = \omega R$ $5 \, \text{м/с} = \omega \cdot 1 \, \text{м}$

Решим уравнение для $\omega$:

$\omega = -5 \, \text{рад/с}$

Таким образом, в первом случае, когда мяч летит в направлении движения платформы, угловая скорость платформы составляет $5 \, \text{рад/с}$, а во втором случае, когда мяч летит в противоположном направлении движения платформы, угловая скорость платформы составляет $-5 \, \text{рад/с}$.