Question

Нагреватель может нагреть 10 г воды от 10 градусов до 100 градусов каждую минуту. Плотность тока в нагревателе, характеризующая отношение сила тока к площади поперечного сечения проводника, равна j=3 А/см^2, КПД нагревателя n=70%, удельное сопротивление материала проволоки, из которого сделан нагревательный элемент, равно p=1,1 мкОм•м. Какой объем этого материала потребовался бы для создания такого нагревателя?

Answer 1

Дано:

m = 10 г = 10⁻² кг

T = 10 °С

Tк = 100 °С

t = 1 мин = 60 с

j = 3 A/см² = 3*10⁴ А/м²

η = 70%

ρ = 1,1 мкОм*м = 1,1*10⁻⁶ Ом*м²/м

с = 4200 Дж/(кг* °С) = 42*10² Дж/(кг* °С)

V - ?

Решение:

Запишем формулу КПД нагревателя:

η = (Qп/Qз)*100

Полезное количество теплоты - это то её количество, которое затратили бы при идеальных условиях, т.е. при отсутствии тепловых потерь. Оно равно:

Qп = cmΔT = cm(Tк - T)

Затраченное количество теплоты будет равно работе электрического тока:

Qз = I²Rt

Силу тока выразим через плотность тока и площадь поперечного сечения проволоки нагревателя:

j = I/S => I = j*S

Сопротивление материала проволоки представим через удельное сопротивление материала, площадь поперечного сечения и длины проволоки:

R = ρ*L/S

Подставляем полученные выражения силы тока и сопротивления в формулу КПД:

η = (Qп/Qз)*100 = cm(Tк - T)*100 / (I²Rt) = cm(Tк - T)*100 / [(j*S)²*(ρ*L/S)*t] = cm(Tк - T)*100 / (j²*S*ρ*L*t)

В знаменателе содержится произведение S*L, что и будет являться искомой величиной - объёмом. Тогда:

S*L = V =>

=> η = cm(Tк - T)*100 / (j²*ρ*t*V) = [cm(Tк - T)*100 / (j²*ρ*t)] / V =>

=> V = [cm(Tк - T)*100 / (j²*ρ*t)] / η = cm(Tк - T)*100 / (j²*ρ*t*η)

Решаем:

V = cm(Tк - T)*100 / (j²*ρ*t*η) = 42*10²*10⁻²*(100 - 10)*100 / ((3*10⁴)²*1,1*10⁻⁶*60*70) = 42*10²*10⁻²*90*100 / (9*10⁸*1,1*10⁻⁶*6*7*100) = 42*10²*10⁻²*9*10*10² / (9*10⁸*1,1*10⁻⁶*42*10²) = 42*9*10³ / (9*42*1,1*10⁴) = 10³/(1,1*10⁴) = 10³/(11*10³) = 1/11 = 0,090909... = 0,09 м³

Ответ: 0,09 м³.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать закон Джоуля-Ленца, который описывает мощность нагрева при прохождении тока через проводник:

P = I^2 * R,

где P - мощность нагрева (в ваттах), I - сила тока (в амперах), R - сопротивление проводника (в омах).

Сначала определим мощность нагрева:

P = I^2 * R,

где I = j * A, где j - плотность тока (в амперах на квадратный сантиметр), A - площадь поперечного сечения проводника (в квадратных сантиметрах).

Мы знаем, что j = 3 А/см^2, и мы хотим нагреть 10 г воды каждую минуту, что эквивалентно нагреву 10 мл воды (поскольку 1 г воды = 1 мл). Теплоемкость воды равна приближенно 4,18 Дж/г∙°C.

Для нагрева воды с 10°C до 100°C нам понадобится:

Q = m * c * ΔT,

где Q - количество тепла (в джоулях), m - масса воды (в граммах), c - теплоемкость воды (в Дж/г∙°C), ΔT - изменение температуры (в °C).

Q = 10 г * 4,18 Дж/г∙°C * (100°C - 10°C) = 37,620 Дж.

Мощность нагрева P будет равна Q за 1 минуту:

P = Q / t = 37,620 Дж / 60 с = 627 Вт.

Теперь мы можем определить площадь поперечного сечения проводника:

P = I^2 * R, 627 Вт = (j * A)^2 * R.

Теперь нам нужно определить сопротивление проводника R, используя удельное сопротивление материала проволоки (p) и длину проводника (L):

R = p * (L / A),

где L - длина проводника.

Так как нам не дана длина проводника, мы не можем определить A напрямую. Однако мы можем выразить A через L:

A = L / (p * R).

Теперь мы можем подставить это выражение в уравнение для мощности:

627 Вт = (j * (L / (p * R)))^2 * R.

Теперь мы можем изолировать L:

L = (627 Вт / (j^2 * p * R))^(1/3).

Теперь мы можем рассчитать объем материала:

Объем = A * L.

Обратите внимание, что у нас есть квадратный сантиметр и метры, поэтому нам нужно будет преобразовать размерности. 1 метр = 100 см.

Объем = (L / (p * R)) * L = (1 / (p * R)) * L^2.

Теперь подставим значение L:

Объем = (1 / (p * R)) * ((627 Вт / (j^2 * p * R))^(1/3))^2.

Теперь давайте подставим известные значения:

p = 1.1 мкОм∙м (или 0.0000011 Ом∙м), j = 3 А/см^2, R = 0.0000011 Ом∙м * L / A.

Теперь мы можем выразить L:

L = (627 Вт / (j^2 * p * R))^(1/3).

L = (627 Вт / ((3 А/см^2)^2 * 0.0000011 Ом∙м * (0.0000011 Ом∙м * L / A)))^(1/3).

L = (627 Вт / (9 А^2/см^4 * 0.0000011 Ом∙м * (0.0000011 Ом∙м * L / A)))^(1/3).

L = (627 Вт / (9 * 0.0000011 Ом∙м * (0.0000011 Ом∙м * L / A)))^(1/3).

L = (627 Вт / (0.0000099 Ом^2∙м^2 * (0.0000011 Ом∙м * L / A)))^(1/3).

L = (627 Вт / (0.00000001089 Ом^2∙м * L / A))^(1/3).

Теперь, чтобы избавиться от A, используем A = L / (p * R):

L = (627 Вт / (0.00000001089 Ом^2∙м * L / (L / (0.0000011 Ом∙м * R))))^(1/3).

L = (627 Вт / (0.00000001089 Ом^2∙м * L / (0.0000011 Ом∙м * R * L)))^(1/3).

L = (627 Вт / (0.00000001089 Ом^2∙м * (0.0000011 Ом∙м * R * L)))^(1/3).

L = (627 Вт / (0.000000011979 Ом^2∙м^2 * L))^(1/3).

L = (627 Вт / 0.000000011979 Ом^2∙м^2 * L)^(1/3).

L = 52.28 метра.

Теперь, когда у нас есть длина проводника, мы можем рассчитать площадь поперечного сечения проводника:

A = L / (p * R),

A = 52.28 м / (0.0000011 Ом∙м * (0.0000011 Ом∙м * 52.28 м)),

A = 0.0449 см^2.

Теперь мы можем найти объем материала:

Объем = A * L,

Объем = 0.0449 см^2 * 52.28 м,

Объем = 2.3499 см^3.

Таким образом, для создания такого нагревателя понадобился бы материал объемом приблизительно 2.35 см^3.