Question

Известно, что tga = 4 вычислите 3sina - 2cosa/4sina + cosa​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$\text{tg }\alpha=4 \\ \text{tg }\alpha= \frac{ \sin \alpha }{ \cos \alpha } \: = > \cos \alpha \neq0$

Вычислим:

$\frac{3 \sin \alpha - 2 \cos \alpha }{4 \sin \alpha + \cos\alpha } = ...$

Разделим и числитель и знаменатель на cos a ≠ 0

$\dfrac{ \dfrac{3 \sin \alpha - 2 \cos \alpha}{ \cos \alpha }}{\dfrac{4 \sin \alpha + \cos\alpha }{ \cos \alpha} } = \dfrac{ \dfrac{3 \sin \alpha}{ \cos \alpha} - \dfrac{2 \cos \alpha}{ \cos \alpha }}{\dfrac{4 \sin \alpha}{ \cos \alpha} + \dfrac{ \cos\alpha }{ \cos \alpha} } = \\ =\dfrac{ 3 {\cdot}\dfrac{ \sin \alpha}{ \cos \alpha} - 2{ \cdot}\dfrac{ \cancel{\cos \alpha}}{\cancel{ \cos \alpha} }}{4{\cdot}\dfrac{ \sin \alpha}{ \cos \alpha} + \dfrac{\cancel{ \cos\alpha }}{ \cancel{\cos \alpha}} } = \frac{3 {\cdot}\dfrac{ \sin \alpha}{ \cos \alpha} - 2}{4{\cdot}\dfrac{ \sin \alpha}{ \cos \alpha} + 1} = \\ = \frac{3 \text{tg } {\alpha } - 2}{4 \text{tg } \alpha + 1}{ }$

Т.к. tg a = 4, то значение выражения будет:

$npu \: \: \text{tg } {\alpha } = 4 \: \: \\ \frac{3 \text{tg } {\alpha } - 2}{4 \text{tg } \alpha + 1} = \frac{3 \cdot4 - 2}{4\cdot4 + 1} = \frac{10}{17}$

Answer 2

Конечно, давайте разберем выражение.

У вас есть выражение:

\[ \frac{3 \sin a - 2 \cos a}{4 \sin a + \cos a} \]

Чтобы решить это, воспользуемся тригонометрическими тождествами. В частности, у нас есть формулы сложения для синуса и косинуса:

\[ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \] \[ \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \]

Мы можем представить числитель и знаменатель в таком виде, чтобы использовать эти тождества:

\[ 3 \sin a - 2 \cos a = \sqrt{13} \left(\frac{3}{\sqrt{13}} \sin a - \frac{2}{\sqrt{13}} \cos a\right) \] \[ 4 \sin a + \cos a = \sqrt{17} \left(\frac{4}{\sqrt{17}} \sin a + \frac{1}{\sqrt{17}} \cos a\right) \]

Теперь давайте воспользуемся этими формулами сложения:

\[ \frac{3 \sin a - 2 \cos a}{4 \sin a + \cos a} = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{17}} \frac{\frac{3}{\sqrt{13}} \sin a - \frac{2}{\sqrt{13}} \cos a}{\frac{4}{\sqrt{17}} \sin a + \frac{1}{\sqrt{17}} \cos a} \]

Теперь давайте введем новые переменные:

\[ p = \frac{3}{\sqrt{13}}, \ q = \frac{2}{\sqrt{13}}, \ r = \frac{4}{\sqrt{17}}, \ s = \frac{1}{\sqrt{17}} \]

Тогда наше выражение будет:

\[ \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{17}} \frac{p \sin a - q \cos a}{r \sin a + s \cos a} \]

Теперь воспользуемся формулой деления для тангенса:

\[ \tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} \]

Сравнивая с нашим выражением, мы видим, что:

\[ \tan(A - B) = \frac{p \sin a - q \cos a}{r \sin a + s \cos a} \]

Таким образом, наше исходное выражение сводится к:

\[ \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{17}} \tan(A - B) \]

Теперь остается только подставить значения \( p, q, r, s \) и упростить:

\[ \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{17}} \tan(A - B) = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{17}} \tan\left(\arctan\left(\frac{3}{\sqrt{13}}\right) - \arctan\left(\frac{2}{\sqrt{13}}\right)\right) \]

Теперь можно воспользоваться формулой разности для арктангенсов:

\[ \tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} \]

Подставим значения:

\[ \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{17}} \tan(A - B) = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{17}} \frac{\frac{3}{\sqrt{13}} - \frac{2}{\sqrt{13}}}{1 + \frac{3}{\sqrt{13}} \cdot \frac{2}{\sqrt{13}}} \]

Теперь упростим:

\[ \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{17}} \tan(A - B) = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{17}} \frac{1}{\sqrt{13}} = \frac{1}{\sqrt{17}} \]

Таким образом, исходное выражение равно \(\frac{1}{\sqrt{17}}\).