Question

Докажите неравенство: x(x+y)>=xy

Answer 1

Ответ:

во вложении..........

Answer 2

Давайте докажем данное неравенство для всех действительных чисел \(x\) и \(y\).

Имеем неравенство \(x(x+y) \geq xy\).

Распишем левую часть неравенства:

\[x(x+y) = x^2 + xy.\]

Теперь нам нужно сравнить это выражение с правой частью \(xy\).

Рассмотрим два случая:

1. Когда \(x = 0\). В этом случае обе стороны неравенства равны нулю, и неравенство выполняется.

2. Когда \(x \neq 0\). В этом случае мы можем сократить обе стороны на \(x\) (поскольку \(x \neq 0\)):

\[x^2 + xy \geq xy.\]

Теперь вычтем \(xy\) с обеих сторон:

\[x^2 \geq 0.\]

Это верно для всех действительных чисел \(x\), потому что квадрат любого действительного числа неотрицателен. Таким образом, второй случай также подтверждает неравенство.

Таким образом, неравенство \(x(x+y) \geq xy\) выполняется для любых действительных чисел \(x\) и \(y\).