Question

Знайдіть рівняння дотичної до графіка функції f(x)=6√x-5x у точці з абсцисою x0=9

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Решение дано на фото.

Answer 2

Щоб знайти рівняння дотичної до графіка функції \( f(x) = 6\sqrt{x} - 5x \) у точці з абсцисою \( x_0 = 9 \), треба використовувати деякі основні поняття диференціального числення. Дотична до графіка у заданій точці є прямою лінією, і її рівняння можна знайти за допомогою похідної функції в точці \( x_0 \) та рівняння прямої.

1. Знайдемо похідну функції \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(6\sqrt{x} - 5x) \]

Для цього використовуємо правило ланцюга та правило ступеня: \[ f'(x) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot x^{-\frac{1}{2}} - 5 \] \[ f'(x) = 3x^{-\frac{1}{2}} - 5 \]

2. Знаходимо значення похідної в точці \( x_0 = 9 \): \[ f'(9) = 3 \cdot 9^{-\frac{1}{2}} - 5 \]

Розрахунок: \[ f'(9) = 3 \cdot \frac{1}{3} - 5 = -4 \]

3. Знаходимо значення функції \( f(x) \) в точці \( x_0 = 9 \): \[ f(9) = 6\sqrt{9} - 5 \cdot 9 \]

Розрахунок: \[ f(9) = 6 \cdot 3 - 45 = -27 \]

4. Використовуючи формулу для рівняння прямої \( y - y_1 = m(x - x_1) \), де \( m \) - нахил дотичної, \( (x_1, y_1) \) - точка касання, можемо записати рівняння дотичної: \[ y - (-27) = -4 \cdot (x - 9) \]

Розкриваємо дужки та спростимо: \[ y + 27 = -4x + 36 \] \[ y = -4x + 9 \]

Отже, рівняння дотичної до графіка функції \( f(x) = 6\sqrt{x} - 5x \) у точці з абсцисою \( x_0 = 9 \) є \( y = -4x + 9 \).