Question

Запишіть рівняння дотичної до графіка функції в точці з дотичною y = √2x-x² в точці з абсцисою x⁰=1​

Answer 1

Ответ:

Для знаходження рівняння дотичної до графіка функції в точці з абсцисою x₀, необхідно виконати наступні кроки:Знайдіть значення функції та її похідної в точці x₀:

f(x) = √(2x - x²), f(1) = √(2 - 1) = √1 = 1

f'(x) = (2 - 2x) / (2√(2x - x²)), f'(1) = (2 - 2*1) / (2√(2 - 1)) = 0Використовуючи значення функції та її похідної в точці x₀, складіть рівняння дотичної:

y - f(x₀) = f'(x₀) * (x - x₀)

y - 1 = 0 * (x - 1) (так як f'(1) = 0)

y = 1Отже, рівняння дотичної до графіка функції √(2x - x²) в точці з абсцисою x₀ = 1 є y = 1.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Дотична до графіка функції в заданій точці може бути знайдена за допомогою похідної функції. Похідна функції визначає швидкість зміни функції в кожній точці і може бути використана для знаходження нахилу дотичної.

Щоб знайти рівняння дотичної до графіка функції y = √2x - x² в точці з абсцисою x₀ = 1, спочатку обчислимо значення похідної функції в цій точці.

Для цього візьмемо похідну функції y = √2x - x² за допомогою правила похідної для складеної функції. Застосуємо правило диференціювання кореня, правило диференціювання суми та різниці функцій, а також правило диференціювання монома:

dy/dx = d(√2x - x²)/dx = d(√2x)/dx - d(x²)/dx = (1/2√2) * d(2x)/dx - 2x * d(x)/dx = (1/2√2) * 2 - 2x * 1 = 1/√2 - 2x

Тепер встановимо значення x₀ = 1 у похідну функції:

dy/dx | (x = 1) = 1/√2 - 2(1) = 1/√2 - 2 = (1 - 2√2)/√2

Таким чином, нахил дотичної до графіка функції y = √2x - x² в точці з абсцисою x₀ = 1 дорівнює (1 - 2√2)/√2.

Рівняння дотичної до графіка функції y = √2x - x² в точці з абсцисою x₀ = 1:

y - y₀ = m(x - x₀)

де m є нахилом дотичної, а (x₀, y₀) - координати точки на графіку.

Підставимо значення в рівняння:

y - y₀ = (1 - 2√2)/√2 * (x - x₀)

Замінюємо x₀ = 1, а y₀ = √2(1) - (1)² = √2 - 1:

y - (√2 - 1) = (1 - 2√2)/√2 * (x - 1)

Знаходячи значення y відносно x отримуємо рівняння дотичної до графіка функції y = √2x - x² в точці з абсцисою x₀ = 1.