Question

Знайдіть рівняння дотичної до графіка функції, у точці з абсцисою Х0. y=4tgx. x0=П/4

Answer 1

Ответ: похідна від функції y = 4tgx дорівнює:

y' = 4(sec(x))^2

В точці x0 = П/4, значення похідної дорівнює:

y'(П/4) = 4(sec(П/4))^2 = 4(√2)^2 = 16

Таким чином, наша дотична має нахил 16 у точці x0 = П/4.

Тепер нам потрібно знайти точку перетину дотичної з графіком у точці x0. Щоб це зробити, ми можемо скористатися точкою (П/4, 4tg(П/4)) на графіку функції.

Використовуючи формулу точки-накштовхувача для прямої, ми отримаємо рівняння дотичної:

y - 4tg(П/4) = 16(x - П/4)

або ж

y = 16x - 4√2.

Отже, рівняння дотичної до графіка функції y = 4tgx у точці x0 = П/4 має вигляд y = 16x - 4√2.

Пошаговое объяснение: для знаходження рівняння дотичної до графіка функції y = 4tgx у точці x0 = П/4 необхідно виконати наступні кроки:

Знайдіть похідну від функції y = 4tgx, використовуючи правило диференціювання тангенса:

y' = 4(sec(x))^2

де sec(x) - секанс, обернена до косинуса.

Обчисліть значення похідної у точці x0 = П/4, підставивши x0 у вираз для похідної:

y'(П/4) = 4(sec(П/4))^2 = 4(√2)^2 = 16

Отже, нахил дотичної у точці x0 дорівнює 16.

Знайдіть координати точки на графіку функції, що відповідає точці x0 = П/4. Це можна зробити, підставивши значення x0 у вираз для функції:

y(П/4) = 4tg(П/4) = 4

Таким чином, точка на графіку функції, що відповідає точці x0, має координати (П/4, 4).

Використовуючи формулу точки-накштовхувача для прямої, знайдіть рівняння дотичної. Формула точки-накштовхувача для прямої виглядає наступним чином:

y - y(x0) = y'(x0) * (x - x0)

де y(x0) - координата точки на графіку функції, що відповідає точці x0;

y'(x0) - значення похідної у точці x0.

Підставивши відомі значення, ми отримаємо рівняння дотичної:

y - 4 = 16(x - П/4)

або ж

y = 16x - 4√2.

Отже, рівняння дотичної до графіка функції y = 4tgx у точці x0 = П/4 має вигляд y = 16x - 4√2.

Answer 2

Щоб знайти рівняння дотичної до графіка функції у заданій точці, нам знадобиться знати похідну цієї функції. Похідна функції y = 4tg(x) може бути обчислена за допомогою правила диференціювання для тангенсу.

Правило диференціювання для функції y = tg(x) має вигляд: (d/dx)(tg(x)) = sec^2(x)

Оскільки ми маємо функцію y = 4tg(x), ми можемо використовувати це правило, помножуючи похідну на 4: (d/dx)(4tg(x)) = 4sec^2(x)

Тепер, щоб знайти похідну у точці x = x0 = π/4, підставимо це значення: (d/dx)(4tg(x)) = 4sec^2(π/4)

sec^2(π/4) = 2^2 = 4, оскільки sec(x) = 1/cos(x), а cos(π/4) = 1/√2 = √2/2

Таким чином, похідна функції y = 4tg(x) у точці x = π/4 дорівнює 4.

Отже, ми знаємо, що наша дотична має нахил 4 і проходить через точку (x0, y0) = (π/4, 4tg(π/4)).

Щоб знайти рівняння дотичної, використаємо загальне рівняння прямої: y - y0 = m(x - x0),

де m - нахил дотичної, (x0, y0) - координати точки, у якій потрібно знайти дотичну.

Підставляючи наші значення, отримаємо: y - 4tg(π/4) = 4(x - π/4).

Ми можемо спростити праву частину: y - 4tg(π/4) = 4x - π.

Таким чином, рівняння дотичної до графіка функції y = 4tg(x) у точці x0 = π/4 має вигляд: y = 4x - π + 4tg(π/4).