Question

Даю 100 баллов за правильный ответ с понятным решением 4. Найдите производную сложной функции:y=√(2^cosx : ln3x)5. Найдите наибольшее значение функции y=(x-1)/(x+1) на отрезке [0;4]6. Найдите неопределенный интеграл: ∫dx:(sin^2 (3x+π/6)7. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=5-4x+x^2 и y=5-x8. Решите задачу:В одном ресторане в г. Тамбове администратор предлагает гостям сыграть в «Шеш-беш»: гость бросает одновременно две игральные кости. Если он выбросит комбинацию 5 и 6 очков хотя бы один раз из двух попыток, то получит комплемент от ресторана: чашку кофе или десерт бесплатно. Какова вероятность получить комплемент? Результат округлите до сотых.

Answer 1

Ответ:

Ответ на фото

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте решим поставленные задачи по порядку:

Задача 4:

Найдем производную сложной функции \( y = \sqrt{\frac{2^{\cos x}}{\ln (3x)}} \).

\[ y' = \frac{1}{2\sqrt{\frac{2^{\cos x}}{\ln (3x)}}} \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{2^{\cos x}}{\ln (3x)}\right) \]

Вычислим производную в числителе и знаменателе:

\[ y' = \frac{1}{2\sqrt{\frac{2^{\cos x}}{\ln (3x)}}} \cdot \frac{2^{\cos x} \cdot \ln (3x) \cdot (-\sin x)}{(\ln (3x))^2} \]

Задача 5:

Найдем наибольшее значение функции \( y = \frac{x-1}{x+1} \) на отрезке \([0, 4]\).

Для этого найдем критические точки, где производная равна нулю:

\[ y' = \frac{(x+1) - (x-1)}{(x+1)^2} \] \[ y' = \frac{2}{(x+1)^2} = 0 \]

Это уравнение не имеет решений, значит, критических точек нет. Поскольку функция рациональная, а её знаменатель положителен на интервале \((0, 4]\), знак производной будет таким же, как знак числителя.

\[ y' > 0 \Rightarrow \) функция возрастает.

Таким образом, максимальное значение функции будет на границе отрезка: \( y(0) = -1 \) и \( y(4) = \frac{3}{5} \). Следовательно, максимальное значение на отрезке \([0, 4]\) равно \( \frac{3}{5} \).

Задача 6:

Найдем неопределенный интеграл \( \int \frac{1}{\sin^2(3x+\frac{\pi}{6})} \,dx \).

Используем тригонометрическую тождественность \( \sin^2 A = \frac{1 - \cos(2A)}{2} \):

\[ \int \frac{1}{\sin^2(3x+\frac{\pi}{6})} \,dx = \int \frac{1}{\frac{1 - \cos(2(3x+\frac{\pi}{6}))}{2}} \,dx \]

\[ = \int \frac{2}{1 - \cos(6x+\frac{\pi}{3})} \,dx \]

\[ = \int \frac{2}{2\sin^2(3x+\frac{\pi}{6})} \,dx \]

\[ = \int \csc^2(3x+\frac{\pi}{6}) \,dx = -\cot(3x+\frac{\pi}{6}) + C \]

где \( C \) - константа интегрирования.

Задача 7:

Найдем площадь фигуры, ограниченной кривыми \( y = 5-4x+x^2 \) и \( y = 5-x \).

Сначала найдем точки их пересечения:

\[ 5-4x+x^2 = 5-x \]

\[ x^2 - 3x = 0 \]

\[ x(x-3) = 0 \]

\[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 3 \]

Теперь найдем площадь:

\[ \text{Площадь} = \int_{0}^{3} [(5-4x+x^2) - (5-x)] \,dx \]

\[ = \int_{0}^{3} (-3x + x^2) \,dx = -\frac{3}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 \Big|_0^3 \]

\[ = -\frac{27}{2} + 27 = \frac{27}{2} \]

Задача 8:

Вероятность получить комплемент (не выбросить 5 и 6 ни разу) равна вероятности каждого из бросков:

\[ P(\text{комплемент}) = P(\text{не 5 и 6 на первом броске}) \times P(\text{не 5 и 6 на втором броске}) \]

\[ P(\text{комплемент}) = \left(\frac{4}{6}\right) \times \left(\frac{4}{6}\right) = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9} \]

Таким образом, вероятность получить комплемент равна \(\frac{4}{9}\).