Question

Знайти критичні точки функції y=24x-2x^3​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Чтобы найти критические точки функции y = 24x - 2x^3, мы должны найти точки, где производная функции равна нулю или не существует. Давайте найдем производную этой функции сначала:

y' = d/dx (24x - 2x^3)

Для нахождения производной функции, мы можем применить правила дифференцирования. Производная константы равна нулю, производная линейной функции равна коэффициенту при x, а производная x^n равна n * x^(n-1). Применим эти правила:

y' = 24 - 6x^2

Теперь, чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю и решим уравнение:

24 - 6x^2 = 0

6x^2 = 24

x^2 = 4

x = ±√4

x = ±2

Таким образом, у нас есть две критические точки: x = 2 и x = -2. Чтобы найти соответствующие значения y, подставим эти значения обратно в исходную функцию:

При x = 2: y = 24(2) - 2(2)^3 = 48 - 16 = 32

При x = -2: y = 24(-2) - 2(-2)^3 = -48 + 16 = -32

Итак, критические точки функции y = 24x - 2x^3 равны (2, 32) и (-2, -32).

Answer 2

Критические точки функции определяются, когда её производная равна нулю или не существует. Чтобы найти критические точки функции \(y = 24x - 2x^3\), давайте выполним следующие шаги:

1. Найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\).

\[ y' = \frac{d}{dx}(24x - 2x^3) \]

Производная функции представляет собой выражение, которое показывает, как быстро меняется функция по отношению к её аргументу.

\[ y' = 24 - 6x^2 \]

2. Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение относительно \(x\):

\[ 24 - 6x^2 = 0 \]

\[ 6x^2 = 24 \]

\[ x^2 = 4 \]

\[ x = \pm 2 \]

Таким образом, у нас две критические точки: \(x = 2\) и \(x = -2\).

3. Теперь мы должны проверить значения второй производной, чтобы определить, являются ли эти точки минимумами, максимумами или седловыми точками. Для этого найдем вторую производную:

\[ y'' = \frac{d^2}{dx^2}(24 - 6x^2) \]

\[ y'' = -12x \]

4. Теперь подставим значения \(x = 2\) и \(x = -2\) во вторую производную:

Для \(x = 2\): \(y''(2) = -12 \times 2 = -24\)

Для \(x = -2\): \(y''(-2) = -12 \times (-2) = 24\)

Если вторая производная отрицательна (\(y'' < 0\)), то это указывает на локальный максимум, а если вторая производная положительна (\(y'' > 0\)), то это указывает на локальный минимум. В данном случае, \(x = 2\) является локальным максимумом, а \(x = -2\) - локальным минимумом.

Таким образом, критические точки функции \(y = 24x - 2x^3\) это \(x = 2\) (локальный максимум) и \(x = -2\) (локальный минимум).