Question

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение (x^2 + √(a - x))^2 = (2x + 1 + √(a - x))^2 имеет единственный корень на отрезке [-1;1]

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$\left(x^2+\sqrt{a-x}\right)^2=\left(2x+1+\sqrt{a-x}\right)^2\;\Leftrightarrow\;\left[\begin{array}{c}x^2+\sqrt{a-x}=2x+1+\sqrt{a-x}\\x^2+\sqrt{a-x}=-2x-1-\sqrt{a-x}\end{array}\right;$

Рассмотрим первую строку совокупности:

$x^2+\sqrt{a-x}=2x+1+\sqrt{a-x}\;\Leftrightarrow\;\left\{\begin{array}{c}x^2-2x-1=0\\a-x\ge0\end{array}\right;$

Корни уравнения из первой строки системы будут $x=1\pm\sqrt{2}$.

Нас интересует тот, что с минусом, так как именно он попадает в отрезок $[-1;\;1]$.

Очевидно, что при $a\in\left[1-\sqrt{2},\;+\infty\right)$ рассматриваемый случай дает нам корень $x=1-\sqrt{2}$. То есть тут надо, чтобы второй случай не давал корней на отрезке $[-1;\;1]$. Ну а в противном случае мы, наоборот, хотим, чтобы случай 2 на отрезке $[-1;\;1]$ корень давал.

Рассмотрим теперь вторую строку совокупности:

$x^2+2x+1=-2\sqrt{a-x},\;\Leftrightarrow\;\left(x+1\right)^2=-2\sqrt{a-x}$

Слева что-то, что больше либо равно 0. Справа что-то, что меньше либо равно 0. Тогда равенство возможно только, если что-то слева и справа равно 0 одновременно.

$\left\{\begin{array}{c}x+1=0\\a-x=0\end{array}\right,\;\Leftrightarrow\;\left\{\begin{array}{c}x=-1\\a=-1\end{array}\right;$

То есть такой случай вообще хоть что-то дает только при $a=-1$ и это что-то есть $x=-1$. При других $a$ он ничего не дает (корней нет).

Корень $x=-1$ принадлежит промежутку $[-1;\;1]$. Причем $a=-1$ не входит в $a\in\left[1-\sqrt{2},\;+\infty\right)$.

Тогда итоговый ответ имеет вид:

$a\in\left\{-1\right\}\cup\left[1-\sqrt{2},\;+\infty\right)$

Задание выполнено!

Answer 2

Для начала, давайте приведем уравнение к более простому виду:

(x^2 + √(a - x))^2 = (2x + 1 + √(a - x))^2

Раскроем квадрат каждой скобки:

x^4 + 2x^2√(a - x) + (a - x) = 4x^2 + 4x + 1 + 4x√(a - x) + 2√(a - x) + (a - x)

Теперь объединим все слагаемые с корнем и все константы:

x^4 + (2x^2 + 4x + 2)√(a - x) + (2a - 2) = 4x^2 + 4x + 1 + (2x + 1)√(a - x)

Теперь видим, что (2x + 1)√(a - x) является общим скобочным множителем, так что мы можем сократить его с каждой частью уравнения:

x^4 + (2x^2 + 4x + 2) = 4x^2 + 4x + 1

Теперь приравняем полученное уравнение к нулю:

x^4 - 2x^2 - 2x + 1 = 0

Мы получили квадратное уравнение относительно x^2, поэтому давайте заменим x^2 = t:

t^2 - 2t - 2x + 1 = 0

Решим это квадратное уравнение относительно t:

t = (2 ± √(4 + 8x - 4))/(2) = 1 ± √(2x - 3)

Теперь заменим обратно t = x^2:

x^2 = 1 ± √(2x - 3)

Теперь рассмотрим два случая:

1. Если x^2 = 1 + √(2x - 3), то:

x^2 - √(2x - 3) - 1 = 0

Сделаем замену y = √(2x - 3):

y^2 - y - 1 = 0

Решим это квадратное уравнение:

y = (1 ± √(1 + 4))/2 = (1 ± √5)/2

Теперь заменим обратно y = √(2x - 3):

√(2x - 3) = (1 ± √5)/2

Возведем это уравнение в квадрат:

2x - 3 = (1 ± √5)^2/4

2x - 3 = (1 ± 2√5 + 5)/4

8x - 12 = 1 ± 2√5 + 5

8x = 18 ± 2√5

x = 9/4 ± √5/4

2. Если x^2 = 1 - √(2x - 3), то:

x^2 + √(2x - 3) - 1 = 0

Сделаем замену y = √(2x - 3):

y^2 + y - 1 = 0

Решим это квадратное уравнение:

y = (-1 ± √(1 + 4))/2 = (-1 ± √5)/2

Теперь заменим обратно y = √(2x - 3):

√(2x - 3) = (-1 ± √5)/2

Возведем это уравнение в квадрат:

2x - 3 = (-1 ± √5)^2/4

2x - 3 = (1 ± 2√5 + 5)/4

8x - 12 = -1 ± 2√5 + 5

8x = 18 - 2√5 ± 1

x = 19/8 - √5/4 или x = 19/8 + √5/4

Таким образом, мы нашли все значения a, при которых уравнение имеет единственный корень на отрезке [-1;1]: a = 18 - 2√5, a = 18 + 2√5, a = 19/8 - √5/4 и a = 19/8 + √5/4.