Question

2³ (1 + (1-x) + (1-x)² + (1-x)³ + ...) = = 17x/4-1 (1 < x < 2)решите уравнение геометрическая прогрессия ​

Answer 1

Решение.

 Если  $\bf 1 < x < 2$  , то  $\bf -2 < -x < -1\ ,\ \ -1 < (1-x) < 0$  , тогда в скобках записана бесконечно убывающая геометрическая

прогрессия со знаменателем  $\bf q=(1-x)\ ,$  где  $\bf |\, q\, | < 1$  , сумму которой можно найти по формуле   $\bf S=\dfrac{b_1}{1-q}$  .

$\bf 2^3\cdot (\underbrace{1+(1-x)+(1-x)^2+...}_{b_1=1,\ q=1-x})=\dfrac{17x}{4}-1\ \ ,\ \ \ x\in (\, 1\, ;\, 2\, )\\\\\\2^3\cdot \dfrac{1}{1-(1-x)}=\dfrac{17x}{4}-1\\\\\\\dfrac{8}{x}=\dfrac{17x-4}{4}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ 8\cdot 4=x\cdot (17x-4)\ \ ,\\\\\\17x^2-4x-32=0\ \ ,\ \ \ D=b^2-4ac=4^2+4\cdot 17\cdot 32=2192\ ,\\\\\\x_1=\dfrac{4-4\sqrt{137}}{2\cdot 17}=\dfrac{2-2\sqrt{137}}{17}\approx -1,26\notin (\, 1;2\, )\ \ ,\\\\\\x_2=\dfrac{2+2\sqrt{137}}{17}\approx 1,49\in (\, 1;2\, )$  

Ответ:    $\bf x=\dfrac{2+2\sqrt{137}}{17}$   .        

Answer 2

Исходя из предоставленного уравнения, вам нужно решить геометрическую прогрессию. Давайте разберемся с этим.

Решение уравнения геометрической прогрессии

Уравнение геометрической прогрессии имеет следующий вид:

S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ...

где: - S - сумма бесконечного числа членов прогрессии - a - первый член прогрессии - r - знаменатель прогрессии (отношение между соседними членами прогрессии)

В данном случае, у нас есть следующая геометрическая прогрессия:

2³ + (1 + (1-x) + (1-x)² + (1-x)³ + ...)

Мы можем заметить, что это бесконечная геометрическая прогрессия с

Answer 3

Дано уравнение геометрической прогрессии: 2³ + (1 + (1-x) + (1-x)² + (1-x)³ + ...) = 17x/4 - 1 + (1 < x < 2)

Сначала разберемся с бесконечной суммой в скобках. Заметим, что это геометрическая прогрессия со знаменателем (1-x).

Формула суммы геометрической прогрессии имеет вид: S = a / (1 - r),

где S - сумма, a - первый элемент, r - знаменатель прогрессии.

В нашем случае первый элемент a = 1, знаменатель r = (1-x).

Тогда сумма бесконечной геометрической прогрессии будет: S = 1 / (1 - (1 - x)) S = 1 / x

Теперь заменим сумму в уравнении на полученное значение: 2³ + 1/x = 17x/4 - 1 + (1 < x < 2)

Для удобства приведем выражение к общему знаменателю: 8 + 1/x = 17x/4 - 4/4 + (1 < x < 2)

Упростим: 8 + 1/x = 17x/4 - 3/4 + (1 < x < 2)

Умножим все члены уравнения на 4x, чтобы избавиться от знаменателя: 32x + 4 = 17x² - 3x + 4x + 4 + (4x < x² < 8x)

Сгруппируем члены и приведем подобные термы: 17x² - 31x + 4 = (4x + 4x²) + (4 + 32x) + (x² - 8x)

17x² - 31x + 4 = 4x² + 4x + 32x + x² - 8x + 4

Перенесем все члены в левую часть уравнения: 17x² - 31x + 4 - 4x² - 4x - 32x - x² + 8x - 4 = 0

13x² - 59x = 0

Получили квадратное уравнение. Решим его:

13x² - 59x = 0 x(13x - 59) = 0

Таким образом, получаем два решения: x₁ = 0 и x₂ = 59/13.

Ответ: уравнение геометрической прогрессии имеет два решения: x₁ = 0 и x₂ = 59/13.