Question

Помогите, пожалуйста. Конечная геометрическая прогрессия состоит из различных натуральных чисел. произведение членов этой прогрессии является делителем числа 10290. Может ли эта прогрессия состоять из 3 членов? Может ли эта прогрессия состоять из 5 членов? Может ли эта прогрессия состоять из 4 членов?

Answer 1

Ответ:

1) да

2) да

3) нет

Пошаговое объяснение:

в точности своих размышлений я не уверен

Answer 2

Разложим число 10290 на простые множители: $10290 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13$.

Так как произведение членов прогрессии является делителем числа 10290, то каждый член прогрессии должен иметь вид $ar^n$, где $a$ и $r$ — натуральные числа, а $n$ — номер члена прогрессии (нумерация начинается с 0).

Если прогрессия состоит из трех членов, то ее члены имеют вид $a$, $ar$, $ar^2$. Так как все члены прогрессии различны, то $r$ не может быть равным 1. Также заметим, что $a$, $r$ и $ar^2$ взаимно просты, так как прогрессия состоит из различных натуральных чисел. Поэтому произведение членов прогрессии равно $a^3r^3$. Так как это произведение является делителем числа 10290, то $a$ и $r$ должны содержать множители из разложения числа 10290. Однако, поскольку $a$, $r$ и $ar^2$ взаимно просты, то $a$ и $r$ не могут содержать общих множителей. Это противоречие, поэтому прогрессия из трех членов, удовлетворяющая условию, не существует.

Если прогрессия состоит из четырех членов, то ее члены имеют вид $a$, $ar$, $ar^2$, $ar^3$. Так как все члены прогрессии различны, то $r$ не может быть равным 1. Рассмотрим возможные варианты разложения числа 10290 на множители, которые содержат по меньшей мере два различных простых множителя:

• $10290 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 15$. В этом случае можно выбрать $a = 2$, $r = 3$.
• $10290 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 19$. В этом случае невозможно подобрать члены прогрессии, так как любые три различных натуральных числа, умножение которых дает произведение $10290$, содержат общий множитель.

Следовательно, пример геометрической прогрессии из четырех различных натуральных чисел, произведение которых является делителем числа 10290, существует.