Question

Найти все значения параметра а, при каждом из которых наименьшее значение функции f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2 на отрезке 0 ≤ x ≤ 2 равно 3.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Найдите все значения параметра а, при которых минимальное значение функции f (x) = 4x^2-4ax+a^2-2a+2 на отрезке х принадлежит 0; 2 включительно и уравнение равно 3

Уравнение f (x) = 4x^2-4ax+a^2-2a+2 является параболой

Найдем значение х при котором парабола имеет минимальное значение

y' (x) = 8x-4a

y' (x) = 0 или 8x-4a = 0

8 х = 4 а

х = (1/2) a

Минимум параболы вида ax^2+bx+с

можно найти по формуле

x = - b / (2a)

В нашем случае 4x^2-4ax+a^2-2a+2

a=4 b = - 4 а

x = 4a / (2*4) = (1/2) a

Так как отрезок минимума ограничен отрезком от 0 до 2 то можно записать неравенство

0 < х < 2 или 0 < (1/2) a < 2

0 < a < 4

Теперь осталось найти само значение а при котором минимум функции равен 3

Подставим значение х = (1/2) a в уравнение функции

y (a/2) = 4*a^2/4 - 4a*a/2 + a^2-2a+2 = a^2 - 2a^2 + a^2 - 2a + 2 = - 2a + 2

-2a + 2 = 3

2a = - 1

a = - 1/2 = - 0,5 (не подходит так как 0 < a < 4)

Поэтому решения нет

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать метод дифференцирования функции и условие наименьшего значения.

Нахождение производной функции f(x)

Для начала, найдем производную функции f(x) = 4x^2 - 4ax + a^2 - 2a + 2: f'(x) = 8x - 4a

Условие наименьшего значения функции

Мы знаем, что на отрезке 0 ≤ x ≤ 2 значение функции f(x) равно 3. То есть f(x) = 3.

Подстановка найденной производной в условие

Подставим найденное значение производной f'(x) в условие f(x) = 3: 8x - 4a = 3

Решение уравнения относительно параметра a

Теперь решим уравнение относительно параметра a, используя условие 0 ≤ x ≤ 2: 8x - 4a = 3

Подставим значения 0 и 2 вместо x: 8*0 - 4a = 3 => -4a = 3 => a = -3/4

8*2 - 4a = 3 => 16 - 4a = 3 => -4a = -13 => a = 13/4

Результат

Таким образом, мы получили два значения параметра a, при каждом из которых наименьшее значение функции f(x) = 4x^2 - 4ax + a^2 - 2a + 2 на отрезке 0 ≤ x ≤ 2 равно 3: a = -3/4 и a = 13/4.