Question

Z= x³+ (y⁴/4) Исследовать функцию двух переменных на экстремум​

Answer 1

Ответ:хз

Пошаговое объяснение:хз

Answer 2

Для исследования функции \( Z = x^3 + \frac{y^4}{4} \) на экстремум, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти частные производные: - Найдем частную производную по \( x \): \( \frac{\partial Z}{\partial x} = 3x^2 \) - Найдем частную производную по \( y \): \( \frac{\partial Z}{\partial y} = y^3 \)

2. Найти точки, где производные равны нулю: - \( 3x^2 = 0 \) имеет решение \( x = 0 \) - \( y^3 = 0 \) имеет решение \( y = 0 \)

3. Найти вторые частные производные и составить матрицу вторых производных: - Вторая частная производная по \( x \): \( \frac{\partial^2 Z}{\partial x^2} = 6x \) - Вторая частная производная по \( y \): \( \frac{\partial^2 Z}{\partial y^2} = 3y^2 \) - Смешанные частные производные: \( \frac{\partial^2 Z}{\partial x \partial y} = 0 \) (по порядку дифференцирования можно менять местами)

Матрица вторых частных производных: \[ H = \begin{bmatrix} 6x & 0 \\ 0 & 3y^2 \end{bmatrix} \]

4. Найти определитель и след матрицы вторых производных: - Определитель: \( \text{det}(H) = 18xy^2 \) - След: \( \text{tr}(H) = 6x + 3y^2 \)

5. Исследовать характер точек: - Если \( \text{det}(H) > 0 \) и \( \text{tr}(H) > 0 \), то это точка минимума. - Если \( \text{det}(H) > 0 \) и \( \text{tr}(H) < 0 \), то это точка максимума. - Если \( \text{det}(H) < 0 \), то это точка седловой точки (точка перегиба).

6. Подставить найденные значения \( x \) и \( y \) обратно в исходную функцию \( Z \), чтобы получить значения в точках экстремума.

Таким образом, найденные значения \( x = 0, y = 0 \) представляют собой критическую точку. Однако, так как \( x \) и \( y \) не ограничены, функция не имеет глобальных экстремумов. Точка \( (0, 0) \) является седловой точкой, так как определитель отрицателен (при \( y \neq 0 \)).

Это краткое рассмотрение экстремумов функции двух переменных. Если у вас есть конкретные значения для \( x \) и \( y \), вы можете использовать их для дальнейшего анализа.