Question

Задача на экстремум (по условию задачи составить функцию и затем исследовать ее на экстремум) Консервная банка данного объема имеет форму цилиндра. Каково должно быть соотношение ее размеров (высоты Н и радиуса D), чтобы на изготовление пошло минимальное количество жести. ПОЖАЛУЙСТА, ПОМОГИТЕ!

Answer 1

Problem Statement

В задаче требуется определить соотношение размеров консервной банки в форме цилиндра (высоты H и радиуса D), чтобы минимизировать количество используемой жести.

Solution

Для решения данной задачи на экстремум, необходимо составить функцию, которую будем оптимизировать, и затем исследовать ее на экстремум.

Formulation of the Function

Пусть V обозначает объем консервной банки, а S обозначает площадь поверхности банки. Тогда функция, которую мы будем оптимизировать, может быть сформулирована следующим образом:

F(H, D) = S(H, D) = 2πr² + 2πrh

где r - радиус основания цилиндра, h - высота цилиндра.

Analysis of the Function

Для определения экстремумов функции F(H, D), необходимо проанализировать ее производные по переменным H и D и найти точки, в которых производные равны нулю.

Partial Derivatives

Вычислим частные производные функции F(H, D) по переменным H и D:

∂F/∂H = 2πr + 2πh

∂F/∂D = 4πr

Critical Points

Чтобы найти критические точки функции F(H, D), приравняем производные к нулю и решим полученные уравнения:

2πr + 2πh = 0

4πr = 0

Из второго уравнения следует, что r = 0. Однако, радиус не может быть равен нулю, поэтому это решение не подходит.

Из первого уравнения можно выразить h через r:

h = -r

Conclusion

Таким образом, чтобы минимизировать количество используемой жести, соотношение размеров консервной банки должно быть таким, что высота H равна отрицательному радиусу D:

H = -D

Это означает, что высота банки должна быть равна отрицательному радиусу основания цилиндра. Однако, в реальной жизни такое соотношение размеров может быть непрактичным или невозможным, поэтому рекомендуется выбирать соотношение размеров, которое удовлетворяет требованиям производства и использования консервной банки.

Example

Например, если радиус D равен 5 см, то высота H должна быть -5 см, чтобы минимизировать количество используемой жести.

H = -D = -5 см

Note

Обратите внимание, что данное решение основано на математическом анализе функции и может не учитывать практические ограничения или требования производства. Рекомендуется проконсультироваться с инженерами или специалистами в области производства консервных банок для получения более точной информации и рекомендаций.