Question

Исследовать функцию на экстремум с помощью первой производной f(x)=x²-x исследовать функцию на экстремум с помощью второй производной f(x)=1/3x³-3x²+5x+5 точки перегиба функции f(x)= x⁴ - 8x³ + 18x² - 48x + 31

Answer 1

I hope it helps you)

Answer 2

Давайте начнем с первой функции и исследуем ее на экстремумы с помощью первой производной.

1. Исследование на экстремум с помощью первой производной:

f(x) = x² - x

Шаг 1: Найдем первую производную функции f(x):

f'(x) = 2x - 1

Шаг 2: Найдем точки, где первая производная равна нулю (критические точки):

2x - 1 = 0

2x = 1

x = 1/2

Шаг 3: Определим тип экстремума в критической точке, используя вторую производную или тест знаков:

f''(x) = 2

Поскольку вторая производная положительна (2 > 0), мы можем сделать вывод, что в критической точке x = 1/2 находится локальный минимум.

Теперь перейдем ко второй функции и найдем точки перегиба с помощью второй производной.

2. Точки перегиба функции с помощью второй производной:

f(x) = x⁴ - 8x³ + 18x² - 48x + 31

Шаг 1: Найдем вторую производную функции f(x):

f''(x) = 12x² - 48x + 36

Шаг 2: Решим уравнение f''(x) = 0 для определения точек перегиба:

12x² - 48x + 36 = 0

Делаем дискриминант:

D = (-48)² - 4 * 12 * 36 = 2304 - 1728 = 576

x = (-(-48) ± √576) / (2 * 12)

x = (48 ± 24) / 24

x₁ = 72 / 24 = 3

x₂ = 24 / 24 = 1

Таким образом, у функции f(x) = x⁴ - 8x³ + 18x² - 48x + 31 есть две точки перегиба: x = 3 и x = 1.

Вот результаты исследования функций на экстремумы с использованием первой и второй производных:

1. Функция f(x) = x² - x:

   • Единственная критическая точка: x = 1/2.
   • Локальный минимум в точке x = 1/2.

2. Функция f(x) = x⁴ - 8x³ + 18x² - 48x + 31:

   • Точки перегиба: x = 3 и x = 1.