Question

1) Найти полный дифференциал функции двух переменных. z=y^3*arctg2x 2) Исследовать функцию двух переменных на экстремум. z=3x^2+6x+y^2-4y+3

Answer 1

Решения на фотографиях

Answer 2

Хорошо, давайте начнем с первой задачи.

1) Найти полный дифференциал функции z = y^3 * arctg(2x).

Чтобы найти полный дифференциал функции $z = y^3 \cdot \arctan(2x)$, нужно выразить $dz$ через $dx$ и $dy$.

Сначала выразим $z$ через $x$ и $y$:

$z = y^3 \cdot \arctan(2x)$

Теперь продифференцируем $z$ по $x$ и $y$:

= 0 + 3y^2 \cdot \arctan(2x) \cdot \frac{{d}}{{dx}}(y)\\ = 3y^2 \cdot \arctan(2x) \cdot 0 = 0\] \[\frac{{dz}}{{dy}} = \frac{{d}}{{dy}} \left(y^3 \cdot \arctan(2x)\right)\\ = 3y^2 \cdot \frac{{d}}{{dy}}(\arctan(2x))\\ = 3y^2 \cdot 0 = 0\] Теперь найдем полный дифференциал \(dz\): \[dz = \frac{{dz}}{{dx}}dx + \frac{{dz}}{{dy}}dy\\ = 0 \cdot dx + 0 \cdot dy = 0\] Итак, полный дифференциал \(dz\) равен нулю. Теперь перейдем ко второй задаче. ### 2) Исследовать функцию \(z = 3x^2 + 6x + y^2 - 4y + 3\) на экстремум. Для исследования функции \(z = 3x^2 + 6x + y^2 - 4y + 3\) на экстремум, нам нужно найти частные производные по \(x\) и \(y\) и решить систему уравнений, приравняв эти производные к нулю. \[ \frac{{dz}}{{dx}} = 6x + 6 \] \[ \frac{{dz}}{{dy}} = 2y - 4 \] Теперь приравняем их к нулю: \[6x + 6 = 0 \implies x = -1\] \[2y - 4 = 0 \implies y = 2\] Таким образом, критическая точка находится в точке \((-1, 2)\). Чтобы проверить, является ли эта точка минимумом, максимумом или седловой точкой, нам нужно использовать вторые производные. \[ \frac{{d^2z}}{{dx^2}} = 6 \] \[ \frac{{d^2z}}{{dy^2}} = 2 \] \[ \frac{{d^2z}}{{dxdy}} = 0 \] Поскольку \(\frac{{d^2z}}{{dx^2}} > 0\) и \(\frac{{d^2z}}{{dy^2}} > 0\) в точке \((-1, 2)\), это указывает на то, что это точка минимума. Итак, мы нашли локальный минимум функции в точке \((-1, 2)\).