Question

СРОЧНО Исследовать на монотонность функцию f(x) = 2x^2 – x Исследовать на экстремум функцию f(x) = – x^3 + 3x + 2

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Для исследования функций на монотонность и экстремумы, нам потребуется выполнить несколько шагов, включая нахождение производных и решение уравнений. Давайте начнем с функции f(x) = 2x^2 - x:

1. Исследование на монотонность:

Для определения монотонности функции f(x) = 2x^2 - x, найдем ее производную f'(x):

f'(x) = d/dx (2x^2 - x) = 4x - 1

Чтобы определить интервалы монотонности, приравняем производную к нулю и найдем точку, в которой она равна нулю:

4x - 1 = 0 4x = 1 x = 1/4

Теперь проверим знак производной в интервалах между точками:

a) Для x < 1/4: Выбираем x = 0 (значение слева от 1/4): f'(0) = 4(0) - 1 = -1 Значит, f(x) убывает на интервале (-∞, 1/4).

b) Для x > 1/4: Выбираем x = 1 (значение справа от 1/4): f'(1) = 4(1) - 1 = 3 Значит, f(x) возрастает на интервале (1/4, ∞).

Таким образом, функция f(x) = 2x^2 - x убывает на интервале (-∞, 1/4) и возрастает на интервале (1/4, ∞).

2. Исследование на экстремумы:

Для поиска экстремумов функции f(x) = 2x^2 - x, найдем вторую производную f''(x):

f''(x) = d^2/dx^2 (2x^2 - x) = 4

Вторая производная является постоянной и положительной (f''(x) = 4 > 0), что означает, что у функции нет экстремумов.

Теперь рассмотрим функцию f(x) = -x^3 + 3x + 2:

1. Исследование на монотонность:

Найдем производную f'(x):

f'(x) = d/dx (-x^3 + 3x + 2) = -3x^2 + 3

Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю:

-3x^2 + 3 = 0 -3x^2 = -3 x^2 = 1 x = ±1

Проверим знак производной в интервалах:

a) Для x < -1: Выбираем x = -2 (значение слева от -1): f'(-2) = -3(-2)^2 + 3 = -9 + 3 = -6 Значит, f(x) убывает на интервале (-∞, -1).

b) Для -1 < x < 1: Выбираем x = 0 (значение между -1 и 1): f'(0) = -3(0)^2 + 3 = 3 Значит, f(x) возрастает на интервале (-1, 1).

c) Для x > 1: Выбираем x = 2 (значение справа от 1): f'(2) = -3(2)^2 + 3 = -12 + 3 = -9 Значит, f(x) убывает на интервале (1, ∞).

2. Исследование на экстремумы:

Для поиска экстремумов функции f(x) = -x^3 + 3x + 2, найдем вторую производную f''(x):

f''(x) = d^2/dx^2 (-x^3 + 3x + 2) = -6x

Теперь найдем значения второй производной в точках x = -1 и x = 1:

a) При x = -1: f''(-1) = -6(-1) = 6 Значит, в точке x = -1 функция имеет локальный минимум.

b) При x = 1: f''(1) = -6(1) = -6 Значит, в точке x = 1 функция имеет локальный максимум.

Таким образом, функция f(x) = -x^3 + 3x + 2 имеет локальный минимум при x = -1 и локальный максимум при x = 1.