Question

Дано координати вершин піраміди: A(8; -2; 5), B(-5; 9; -6), C(2; -4; -3), D(1; -7; 2). Знайти: 1) довжину ребра АD, 2) кут між ребрами АC і АD, 3) площу грані АСB, 4) об'єм піраміди

Answer 1

Дано координати вершин піраміди: A(8; -2; 5), B(-5; 9; -6), C(2; -4; -3), D(1; -7; 2). Знайти:

1) довжину ребра АD.

2) кут між ребрами АC і АD.

3) площу грані АСB.

4) об'єм піраміди.

1) Находим вектор АD.

АD = D(1; -7; 2) - A(8; -2; 5) = (-7; -5; -3).

Его модуль равен √((-7)² + (-5)² - (-3)²) = √(49 + 25 + 9) = √83.

Получаем уравнение ребра АD.

AD: (x – 8)/(-7) = (y + 2)/(-5) = (z – 5)/(-3).

2) Находим вектор АC.

АC = C(2; -4; -3)  - A(8; -2; 5) = (-6; -2; -8).

Его модуль равен √((-6)² + (-2)² - (-8)²) = √(36 + 4 + 64) = √104.

Скалярное произведение векторов АD и АС равно:

AD · AC = ADx · ACx + ADy · ACy + ADz · ACz = -7 · -6 + -5 · -2 + -3 · -8 =

= 42 + 10 + 24 = 76.

Найдем угол между векторами:

cos α =  AD · AC

             |AD||AC|

cos α = 76/(√83*√104)  = 76/(2√2158) = 38/√2158 = 38√2158/2158 = 19√2158/1079 ≈ 0,818008613

Угол равен arccos 0,818008613 = 0,612855922 радиан или 35,11405775 градуса.

3) Площадь грани АCB.

Вектор АC = (-6; -2; -8) (см.п.2).

Находим вектор АB =  B(-5; 9; -6) - A(8; -2; 5) = (-13; 11; -11).

Площадь равна половине модуля векторного произведения АC на АB.

   i          j        k|        i         j

  -6        -2      -8|      -6       -2

 -13         11     -11|     -13      11  = 22i + 104j - 66k - 66j + 88i - 26k =

                                           = 110i + 38j - 92k.

ACxAB = (110; 38; -92).  

S = (1/2)√((110)² + 38² + (-92)²) =  (1/2)√(12100 + 1444 + 8464) = (1/2)√22008 =

= (1/2)*2√5502 = √5502  ≈ 74,17547 кв.  ед.

4)  Объем пирамиды V = (1/6)*[ACxAB]*AD =

= (1/6)* |(110; 38; (-92))*(-7; -5;-3)|  = (1/6)*|(-770 - 1901 + 276) |= 684/6 =

= 114 куб. ед.

Answer 2

Для розв'язання цих задач скористаємося формулами та властивостями геометрії.

1) Довжина ребра AD:

Довжину ребра можна знайти за допомогою формули відстані між двома точками в тривимірному просторі:

\[ AD = \sqrt{(x_D - x_A)^2 + (y_D - y_A)^2 + (z_D - z_A)^2} \]

\[ AD = \sqrt{(1 - 8)^2 + ((-7) - (-2))^2 + (2 - 5)^2} \]

\[ AD = \sqrt{(-7)^2 + (-5)^2 + (-3)^2} \]

\[ AD = \sqrt{49 + 25 + 9} \]

\[ AD = \sqrt{83} \]

2) Кут між ребрами AC і AD:

Косинус кута між двома векторами можна знайти за допомогою їхнього скалярного добутку та довжин векторів:

\[ \cos \theta = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{AD}}{\lVert \vec{AC} \rVert \cdot \lVert \vec{AD} \rVert} \]

Скалярний добуток \(\vec{AC} \cdot \vec{AD}\) можна знайти як суму добутків відповідних координат векторів:

\[ \vec{AC} \cdot \vec{AD} = (x_C - x_A)(x_D - x_A) + (y_C - y_A)(y_D - y_A) + (z_C - z_A)(z_D - z_A) \]

Після знаходження скалярного добутку, підставимо в формулу для косинуса:

\[ \cos \theta = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{AD}}{\lVert \vec{AC} \rVert \cdot \lVert \vec{AD} \rVert} \]

\[ \cos \theta = \frac{(x_C - x_A)(x_D - x_A) + (y_C - y_A)(y_D - y_A) + (z_C - z_A)(z_D - z_A)}{\sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2 + (z_C - z_A)^2} \cdot \sqrt{(x_D - x_A)^2 + (y_D - y_A)^2 + (z_D - z_A)^2}} \]

3) Площа грані ACB:

Для знаходження площі грані ми використаємо векторний добуток векторів AC і AB, і обчислимо його довжину:

\[ \vec{AC} \times \vec{AB} = \begin{bmatrix} i & j & k \\ x_C - x_A & y_C - y_A & z_C - z_A \\ x_B - x_A & y_B - y_A & z_B - z_A \end{bmatrix} \]

\[ \vec{AC} \times \vec{AB} = \begin{bmatrix} (y_C - y_A)(z_B - z_A) - (z_C - z_A)(y_B - y_A) \\ (z_C - z_A)(x_B - x_A) - (x_C - x_A)(z_B - z_A) \\ (x_C - x_A)(y_B - y_A) - (y_C - y_A)(x_B - x_A) \end{bmatrix} \]

Площа грані дорівнює половині довжини вектору, отриманого в результаті векторного добутку:

\[ S_{ACB} = \frac{1}{2} \sqrt{(y_C - y_A)^2 + (z_C - z_A)^2 + (z_C - z_A)^2} \]

4) Об'єм піраміди:

Об'єм піраміди можна знайти за допомогою формули:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{ACB} \cdot h \]

де \( h \) - висота піраміди. Висоту можна знайти за допомогою відстані між точкою D і площиною ABC:

\[ h = \frac{\lvert \vec{AD} \cdot \vec{N} \rvert}{\lVert \vec{N} \rVert} \]

де \( \vec{N} \) - вектор нормалі до площини ABC. \( \vec{N} \) можна знайти за допомогою векторного добутку векторів AC і AB:

\[ \vec{N} = \vec{AC} \times \vec{AB} \]

\[ \lVert \vec{N} \rVert = \sqrt{(y_C - y_A)^2 + (z_C - z_A)^2 + (z_C - z_A)^2} \]

Підставимо значення в формулу для висоти і обчислимо об'єм.

Ці кроки дозволять вам знайти всі необхідні значення.