Question

Дано координати 4 вершин піраміди ABCD. А(2;2;0);В(4;3;2);С(1;4;1);D(4;1;2;)Знайти: 1) довжину ребра AB 2) кут між ребрами AB і AC 3) площу трикутника ABC 4) об’єм піраміди ABCD 5) рівняння площини, що проходить через точки А, С і D 6) довжину висоти ВВ1 піраміди.

Answer 1

Дано координати 4 вершин піраміди ABCD:

А(2;2;0); В(4;3;2); С(1;4;1); D(4;1;2).

Знайти: 1) довжину ребра AB.

|AB| =  √((4-2)² + (3-2)² + (2-0)²) = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3.

2) кут між ребрами AB і AC .

Вектор АВ из п.1 (2; 1; 2). его модуль равен 3.

Находим вектор АС = ((1-2; (4-2); (1-0)) = (-1; 2; 1).

Модуль АС равен √(1+4+1) = √6.

cos A = (2*(-1)+1*2+2*1)/(3 *√6) = 2/(3√6) = √6/9.

Угол равен  1,29515 радиан или 74,20683 градуса.

3) площу трикутника ABC . S(ABC) = (1/2)*|ABxAC|.

  i       j       k|       i         j

2       1       2|       2       1

-1      2       1|      -1       2 = 1i - 2j + 4k - 2j - 4i + 1k =

                                       = -3i - 4j + 5k.

S = (1/2)*√(((-3)² + (-4)² + 5²) = (1/2)*(√50) = 5√2/2 ≈ 3,5355 кв.ед.

4) об’єм піраміди ABCD .

Находим вектор AD = (2; -1; 2). V = (1/6)*|ABxAC|*AD.

|ABxAC| =  (-3; -4; 5) определено в п. 3.

V = (1/6)*(2*(-3)+(-1)*(-4)+2*5) = (1/6)*8 = (4/3) куб.ед.

5) рівняння площини, що проходить через точки А, С і D .

Точки А(2;2;0); С(1;4;1); D(4;1;2).

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA y - yA z - zA

xС - xA yС - yA zС - zA

xD - xA yD - yA zD - zA   = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x - 2       y - 2        z - 0

1 - 2       4 - 2         1 - 0

4 - 2       1 - 2         2 - 0    = 0

x - 2      y - 2      z - 0

-1          2              1

2          -1             2    = 0.

(x - 2) (2·2-1·(-1))  -  (y - 2) ((-1)·2-1·2)  +  (z - 0) ((-1)·(-1)-2·2)  = 0 .

5 (x - 2)  + 4 (y - 2)  + (-3) (z - 0)  = 0 .

5x + 4y - 3z - 18 = 0 .

6) довжину висоти ВВ1 піраміди. BB1 = 3V/S(ACD).

S(ACD) = (1/2)*|ACxAD|.  

Вектор АС = (-1; 2; 1), вектор AD = (2; -1; 2).

  i       j       k|       i         j

-1       2       1|       -1      2

2       -1       2|       2      -1  =  4i + 2j + 1k + 2j + 1i - 4k =

                                          = 5i + 4j - 3k.

S = (1/2)*√(5² + 4² + (-3)²) = (1/2)*(√50) = 5√2/2 ≈ 3,5355 кв.ед.

H= BB1 = 3*(4/3)/(5√2/2) = 4√2/5 ≈ 1,13137.

Answer 2

1) Для нахождения длины ребра AB, используем формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве: AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2) AB = √((4 - 2)^2 + (3 - 2)^2 + (2 - 0)^2) AB = √(2^2 + 1^2 + 2^2) AB = √(4 + 1 + 4) AB = √9 AB = 3

2) Для нахождения угла между ребрами AB и AC, используем формулу косинуса угла между векторами: cos θ = (AB · AC) / (|AB| * |AC|) где AB · AC - скалярное произведение векторов AB и AC, |AB| и |AC| - длины векторов AB и AC.

AB · AC = (x2 - x1)(x3 - x1) + (y2 - y1)(y3 - y1) + (z2 - z1)(z3 - z1) AB · AC = (4 - 2)(1 - 2) + (3 - 2)(4 - 2) + (2 - 0)(1 - 0) AB · AC = 2*(-1) + 1*2 + 2*1 AB · AC = -2 + 2 + 2 AB · AC = 2

|AB| = √(2^2 + 1^2 + 2^2) = √9 = 3 |AC| = √((1 - 2)^2 + (4 - 2)^2 + (1 - 0)^2) = √4 = 2

cos θ = 2 / (3 * 2) = 1/3

θ = arccos(1/3)

3) Площадь треугольника ABC можно найти, используя формулу площади треугольника по сторонам: S = √(p * (p - AB) * (p - BC) * (p - AC)) где p - полупериметр треугольника, p = (AB + BC + AC) / 2

p = (AB + BC + AC) / 2 p = (3 + 3 + 2) / 2 p = 8 / 2 p = 4

S = √(4 * (4 - 3) * (4 - 3) * (4 - 2)) S = √(4 * 1 * 1 * 2) S = √8 S = 2√2

4) Объем пирамиды ABCD можно найти, используя формулу объема пирамиды по площади основания и высоте: V = (S * h) / 3 где S - площадь основания пирамиды (S = S(ABC)), h - высота пирамиды (h = VV1)

S = 2√2 (получено в предыдущем пункте) h = AB (высота пирамиды совпадает с длиной ребра AB)

V = (2√2 * 3) / 3 V = 2√2

5) Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через точки A, C и D, используем формулу уравнения плоскости: Ax + By + Cz + D = 0

Найдем уравнение плоскости, используя точки A(2, 2, 0), C(1, 4, 1) и D(4, 1, 2): | x y z 1 | | 2 2 0 1 | | 1 4 1 1 | | 4 1 2 1 |

Вычислим определитель этой матрицы: Det = | 2 0 1 | | 4 2 1 | | 1 1 1 | Det = 2(2 - 1) + 0(4 - 1) + 1(4 - 2) Det = 2 + 0 + 2 Det = 4

Ax + By + Cz + D = 0, где A = Det (минор при x) B = -Det (минор при y) C = Det (минор при z) D = -Det (минор при 1)

A = 4, B = -4, C = 4, D = -4

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точки A, C и D, имеет вид: 4x - 4y + 4z - 4 = 0

6) Для нахождения длины высоты VB1 пирамиды нужно найти проекцию вектора AB1 на вектор VV1 и найти его длину.

Вектор AB1 можно получить вычитанием координат точки B1(4, 3, 2) и A(2, 2, 0): AB1 = (4 - 2, 3 - 2, 2 - 0) = (2, 1, 2)

Длина вектора AB1: |AB1| = √(2^2 + 1^2 + 2^2) = √9 = 3

Проекция вектора AB1 на вектор VV1: proj_vv1_ab1 = (AB1 · VV1) / |VV1|

AB1 · VV1 = (2 - 4)(4 - 2) + (1 - 3)(1 - 2) + (2 - 1)(2 - 0) AB1 · VV1 = (-2)(2) + (-2)(-1) + (1)(2) AB1 · VV1 = -4 + 2 + 2 AB1 · VV1 = 0

|VV1| = √(4^2 + 3^2 + 2^2) = √29

proj_vv1_ab1 = 0 / √29 = 0

Длина высоты VB1 равна 0, так как проекция вектора AB1 на вектор VV1 равна 0, что означает, что вектор AB1 ортогонален вектору VV1.