Question

Дано: А(-4; 6; 3); В( 3; -5; 1); С( 2; 6; -4), D(2;4;-5). Початковий рівень 1. Зобразити ці точки у системі координат. 2. Знайти координати вектора AС і довжину відрізка АC. 3. Знайти координати вектора m = 3 АВ ˗ 4 ВС . Середній рівень 4. Знайти координати точки К, якщо AK:KC=2:3. 5. Знайти довжину медіани ВМ у трикутнику BCA. 6. Скласти рівняння площини що проходить через точку A перпендикулярно вектору ВD . Достатній рівень 7. Знайти косинус кута між векторами АВ , ВС . Високий рівень 8. Скласти рівняння площини, що проходить через точки А, В і D.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для вирішення цих завдань ми використовуватимемо векторну геометрію і алгебру векторів. Давайте почнемо з кожного завдання окремо:

1. Зобразити точки у системі координат:

   • A(-4; 6; 3)
   • B(3; -5; 1)
   • C(2; 6; -4)
   • D(2; 4; -5)

   Просто намалюйте ці точки на координатній системі.

2. Знайдемо координати вектора AC і його довжину: Вектор AC = C - A = (2 - (-4); 6 - 6; -4 - 3) = (6; 0; -7) Довжина вектора AC = √(6² + 0² + (-7)²) = √(36 + 49) = √85

3. Знайдемо координати вектора m = 3AB - 4BC: Вектор AB = B - A = (3 - (-4); (-5) - 6; 1 - 3) = (7; -11; -2) Вектор BC = C - B = (2 - 3; 6 - (-5); (-4) - 1) = (-1; 11; -5) Вектор m = 3AB - 4BC = 3(7; -11; -2) - 4(-1; 11; -5) = (21; -33; -6) - (-4; 44; 20) = (25; -77; -26)

4. Знайдемо координати точки K, якщо AK:KC = 2:3: Координати точки K можна знайти, розклавши вектор AK і віднісши до нього вектор KC відповідно до відношення 2:3. Вектор AK = 2/5 * AC = 2/5 * (6; 0; -7) = (12/5; 0; -14/5) Вектор KC = 3/5 * AC = 3/5 * (6; 0; -7) = (18/5; 0; -21/5) Тепер додамо вектор AK до точки A, щоб знайти точку K: K = A + AK = (-4; 6; 3) + (12/5; 0; -14/5) = (-8/5; 6; 1/5)

5. Знайдемо довжину медіани BM у трикутнику BCA: Медіана BM ділить відрізок AC пополам, тобто вектор BM = 0.5 * AC. Вектор BM = 0.5 * (6; 0; -7) = (3; 0; -3.5) Довжина вектора BM = √(3² + 0² + (-3.5)²) = √(9 + 12.25) = √21.25

6. Скласти рівняння площини, що проходить через точку A і перпендикулярно вектору BD: Площина вектору BD має рівняння вигляду: (BD_x)(x - A_x) + (BD_y)(y - A_y) + (BD_z)(z - A_z) = 0 Вектор BD = D - B = (2 - 3; 4 - (-5); -5 - 1) = (-1; 9; -6) Рівняння площини: (-1)(x - (-4)) + (9)(y - 6) + (-6)(z - 3) = 0 -1(x + 4) + 9(y - 6) - 6(z - 3) = 0 -x - 4 + 9y - 54 - 6z + 18 = 0 -x + 9y - 6z - 40 = 0

7. Знайдемо косинус кута між векторами AB і BC: Косинус кута між двома векторами можна знайти за допомогою формули: cos(θ) = (AB · BC) / (|AB| * |BC|), де · - це скалярний добуток векторів.

   AB · BC = (7; -11; -2) · (-1; 11; -5) = 7 * (-1) + (-11) * 11 + (-2) * (-5) = -7 - 121 + 10 = -118 |AB| = √(7² + (-11)² + (-2)²) = √(49 + 121 + 4) = √174 |BC| = √((-1)² + 11² + (-5)²) = √(1 + 121 + 25) = √147

   cos(θ) = (-118) / (√174 * √147)

8. Скласти рівняння площини, що проходить через точки A, B і D: Площина, що проходить через три точки, має рівняння вигляду: | i j k | | A_x A_y A_z | | B_x B_y B_z | | D_x D_y D_z |

   Де |...| - це детермінант матриці. Розрахуємо детермінант: | i j k | | -4 6 3 | | 3 -5 1 | | 2 4 -5 |

   Детермінант = (-4 * (-5) * (-5) + 6 * 1 * 2 + 3 * 3 * 4) - (3 * (-5) * 3 + 6 * 3 * (-5) + 1 * 4 * (-4)) = (100 + 12 + 36) - (-45 - 90 - 16) = 148 - (-151) = 148 + 151 = 299

   Таким чином, рівняння площини, що проходить через точки A, B і D, має вигляд: 299x - 299y + 299z = 0

Це завершує вирішення всіх запитаних завдань.