Question

Дано : А1 ( 0,5,0 ) , А2 ( 2,3,-4 ) , А3 ( 0,0,-6), А4 ( -3,1,-1 ) , a1 і a2 . 1. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку А1 перпендикулярно вектору А1А2 . 2. Скласти рівняння площини, яка проходить через точки А1 і А2 паралельно вектору a1 . 3. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку А2 паралельно векторам a1 і a2 . 4. Скласти рівняння площини, яка проходить через три точки А1 , А2 , А3 . 5. Обчислити відстань d від точки А4 до площини ( А1 А2 А3 ). 6. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку А4 паралельно до площини ( А1 А2 А3 ) . 7. Обчислити кут між площинами x - 2y + 3z + 5 - 0 і ( А1 А2 А3 ) .​

Answer 1

Дано : А1(0;5;0), А2(2;3;-4), А3(0;0;-6), А4(-3;1;-1), a1 {1; -3; 12 } і a2 {12; 2; 0}.

1. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку А1 перпендикулярно вектору А1А2 .

Находим вектор А1А2.

А1А2 = (2-0; 3-5; -4-0) = (2; -2; -4).

Вектор А1А2, перпендикулярный к искомой плоскости, является её нормальным вектором.

По этому вектору (2; -2; -4) и точке А1(0; 5; 0) составляем у равнение плоскости по формуле A·(x–xo)+B·(y–yo)+C·(z–zo)=0.

2*x + (-2)*(y – 5) + (-4)*z = 0.

2x – 2y – 4z + 10 = 0 или, сократив на 2:

x – y – 2z + 5 = 0.

2. Скласти рівняння площини, яка проходить через точки А1 і А2 паралельно вектору a1.

Пусть точка М(x; y;  z) расположена в искомой плоскости β . Тогда в плоскости β расположены векторы А1M(x; y - 5; z) ;  А1А2(2; -2; -4) и вектор a1(1;- 3; 12).

По условию компланарности смешанное произведение этих трёх векторов должно равняться 0.

Находим смешанное произведение:

  |  x    y - 5       z   |

  |  2      -2        -4   |  = 0 .      Решаем эту матрицу по  

  |  1      -3        12  |               схеме Саррюса.

|  x     y - 5        z   |          x        y - 5    

|  2       -2         -4   |         2         -2        

|  1       -3        12   |         1         -3  =

=x*(-24) + (y – 5)*(-4) + z*(-6) – (y – 5)*24 – x*12 – z*(-2) =

= -24x  – 4y + 20 - 6z – 24y + 120 - 12x  + 2z =

= -36x – 28y - 4z + 140 = 0, после сокращения на -4 получаем:

9x + 7y + z – 35 = 0. Это искомое уравнение плоскости.

3. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку А2 паралельно векторам a1(1; -3; 12) і a2(12; 2; 0).

Векторы а1 и а2 можно разместить в искомой плоскости. Тогда они будут направляющими векторами этой плоскости (при условии их неколлинеарности).

Тогда нормаль к искомой плоскости получим как векторное произведение её направляющих векторов.

I        j       k|        I       j

1     -3     12|       1     -3

12     2      0|      12     2 = 0i + 144j + 2k – 0j – 24i + 36k = -24i + 144j + 38k.

Получили нормальный вектор плоскости (-24; 144; 38).

Примем коллинеарный ему вектор с к = -2: (12; -72; -19)

Уравнение плоскости, проходящей через точку Mo(xo;yo;zo) с нормальным вектором n=(A;B;C) имеет вид A·(x–xo)+B·(y–yo)+C·(z–zo)=0.  

Подставим данные: А2(2; 3; -4), n = (12; -72; -19).

12·(x – 2) + (-72)· (y – 3) + (-19)·(z + 4) = 0.

12x - 24 - 72y + 216 - 19z – 76 = 0.

12х - 72y - 19z + 116=0.

О т в е т. 12х - 72y - 19z + 116 = 0.

4. Скласти рівняння площини, яка проходить через три точки А1, А2, А3.

Для составления уравнения плоскости по трём точкам используем формулу:

x - xA             y - yA             z - zA

xB - xA         yB - yA            zB - zA

xC - xA         yC - yA            zC - zA = 0

Подставим данные и упростим выражение: А1(0;5;0), А2(2;3;-4), А3(0;0;-6).

  x - 0             y – 5                z - 0

 2 - 0              3 – 5             (-4) - 0

 0 - 0              0 – 5               -6 - 0 = 0

  x - 0             y – 5                z - 0

    2                   -2                    -4

    0                   -5                    -6 = 0

(x – 0)(-2·(-6)-(-4)·(-5)) – (y – 5)(2·(-6)-(-4)·0) + (z – 0)(2·(-5)-(-2)·0) = 0

(-8)(x – 0) + 12(y – 5) + (-10)(z – 0) = 0

- 8x + 12y - 10z - 60 = 0

4x - 6y + 5z + 30 = 0

Ответ: уравнение плоскости 4x - 6y + 5z + 30 = 0.

5. Обчислити відстань d від точки А4 до площини (А1А2А3).

Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 используем формулу:

d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D|/√A2 + B2 + C2

Подставим в формулу данные:

А4(-3;,1;-1), нормальный вектор плоскости А1А2А3 равен (4; -6; 5) по п.4) .

d = |4·(-3) + (-6)·1 + 5·(-1) + 30|/√42 + (-6)2 + 52 =  

  = |-12 - 6 - 5 + 30|/√16 + 36 + 25 =

 = 7/√77 = √77/11 ≈ 0,07977.

6. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку А4 паралельно до площини ( А1А2А3 ) .

Используем формулу A·(x–xo)+B·(y–yo)+C·(z–zo)=0.

Так как искомая плоскость параллельна плоскости А1А2А3,то её нормальный вектор совпадает с нормальным вектором плоскости А1А2А3, координаты которого определены в пункте 4) и равны (4; -6; 5), точка А4(-3;1;-1).

Получаем 4(x + 3) – 6(y – 1) + 5(z + 1) = 0.

4x + 12 – 6y + 6 + 5z + 5 = 0.

4x – 6y + 5z + 23 = 0.

7. Обчислити кут між площинами x - 2y + 3z + 5 = 0 і А1А2А3.

Уравнение плоскости А1А2А3по пункту 4 равно 4x - 6y + 5z + 30 = 0.

Угол между плоскостями x - 2y + 3z + 5 = 0 и 4x - 6y + 5z + 30 = 0

определяем по формуле:

cos α = |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2|/(√(A12 + B12 + C12) *√(A22 + B22 + C22)).

Подставляем координаты векторов:

cos α = |1·4 + (-2)·(-6) + 3·5|/(√(12 + (-2)2 + 32) *√(42 + (-6)2 + 52))=

= |4 + 12 + 15|/(√(1 + 4 + 9) *√(16 + 36 + 25)) =

= 31/(√14* √77) = 31/√1078 = 31√22154 ≈ 0,94417.

α = 19,2351°

Answer 2

Щоб відповісти на запитання, розглянемо кожен пункт окремо.

1. Складання рівняння площини, яка проходить через точку А1 перпендикулярно вектору А1А2.

Щоб скласти рівняння площини, яка проходить через точку А1 перпендикулярно вектору А1А2, нам потрібно знайти нормальний вектор площини. Нормальний вектор буде перпендикулярний до вектору А1А2.

Вектор А1А2 можна знайти, віднімаючи координати точки А1 від координат точки А2: А1А2 = А2 - А1 = (2-0,5,0) - (0,5,0) = (1,5,0).

Таким чином, нормальний вектор площини буде (1,5,0).

Рівняння площини, яка проходить через точку А1 перпендикулярно вектору А1А2, можна записати у вигляді:

1.5x + 0y + 0z = 1.5

2. Складання рівняння площини, яка проходить через точки А1 і А2 паралельно вектору a1.

Щоб скласти рівняння площини, яка проходить через точки А1 і А2 паралельно вектору a1, нам потрібно знайти нормальний вектор площини. Нормальний вектор буде перпендикулярний до вектору a1.

Вектор a1 можна знайти, віднімаючи координати точки А1 від координат точки А2: a1 = А2 - А1 = (2,3,-4) - (0,5,0) = (2,3,-4).

Таким чином, нормальний вектор площини буде (2,3,-4).

Рівняння площини, яка проходить через точки А1 і А2 паралельно вектору a1, можна записати у вигляді:

2x + 3y - 4z = 2(0) + 3(0.5) - 4(0) = 1.5

3. Складання рівняння площини, яка проходить через точку А2 паралельно векторам a1 і a2.

Щоб скласти рівняння площини, яка проходить через точку А2 паралельно векторам a1 і a2, нам потрібно знайти нормальний вектор площини. Нормальний вектор буде перпендикулярний до векторам a1 і a2.

Вектор a1 ми вже знайшли у попередньому пункті: a1 = (2,3,-4).

Вектор a2 можна знайти, віднімаючи координати точки А2 від координат точки А3: a2 = А3 - А2 = (0,0,-6) - (2,3,-4) = (-2,-3,-2).

Таким чином, нормальний вектор площини буде (2,3,-4) x (-2,-3,-2), де "x" позначає векторний добуток.

Виконуючи векторний добуток, отримаємо: (2,3,-4) x (-2,-3,-2) = (-6,8,-12) - (-6,4,6) = (-6,8,-12) + (6,-4,-6) = (0,4,-18).

Рівняння площини, яка проходить через точку А2 паралельно векторам a1 і a2, можна записати у вигляді:

0x + 4y - 18z = 0(2) + 4(3) - 18(-4) = 2 + 12 + 72 = 86

4. Складання рівняння площини, яка проходить через три точки А1, А2, А3.

Щоб скласти рівняння площини, яка проходить через три точки А1, А2, А3, нам потрібно знайти нормальний вектор площини. Нормальний вектор буде перпендикулярний до векторам А1А2 і А1А3.

Вектор А1А2 ми вже знайшли у першому пункті: А1А2 = (1.5,0,0).

Вектор А1А3 можна знайти, віднімаючи координати точки А1 від координат точки А3: А1А3 = А3 - А1 = (0,0,-6) - (0.5,0,0) = (-0.5,0,-6).

Таким чином, нормальний вектор площини буде А1А2 x А1А3, де "x" позначає векторний добуток.

Виконуючи векторний добуток, отримаємо: (1.5,0,0) x (-0.5,0,-6) = (0,9,0) - (0,0,0) = (0,9,0).

Рівняння площини, яка проходить через три точки А1, А2, А3, можна записати у вигляді:

0x + 9y + 0z = 0(0.5) + 9(0) + 0(-1) = 0 + 0 + 0 = 0

5. Обчислення відстані d від точки А4 до площини (А1А2А3).

Щоб обчислити відстань d від точки А4 до площини (А1А2А3), ми можемо використовувати формулу відстані від точки до площини.

Використовуючи формулу, отримаємо:

d = |(Ax - A1) * n| / |n|,

де Ax - координати точки А4, A1 - координати будь-якої точки на площині (наприклад, А1), n - нормальний вектор площини (який ми знайшли у попередньому пункті).

Підставляючи дані, отримаємо:

d = |((-3,1,-1) - (0.5,0,0)) * (0,9,0)| / |(0,9,0)|.

Обчислюємо це:

d = |((-3.5,1,-1) * (0,9,0)| / |(0,9,0)| = |(-3.5*0 + 1*9 + -1*0)| / |(0,9,0)| = |9| / 9 = 1.

Таким чином, відстань d від точки А4 до площини (А1А2А3) дорів