Question

1) Записати рівняння прямої -Зх+4у+10=0 у нормальній формі. За допомогою одержаного рівняння знайти відстань від точки А(-2;6) до прямої. 2) Написати рівняння кола, що проходить через точки перетину кола x^2+у^2+4x-4y = 0 з прямою у=-x і через точку А(4;4). 3) Написати рівняння дотичних до кола x^2+у^2-8x-4у+16 = 0 які проведено з початку координат. 4) Задано точку А(а: 0). Точка М рухається так, що в трикутни- ку ОМА кут ОМА залишається прямим. Визначити траєкторію руху точки. 5) Визначити траєкторію точки М(x, у), яка рухається так, що сума квадратів відстаней від неї до точок А(-a; 0), В(0;a) і С(a; 0) по- стійно дорівнює За^2? 6) Коло дотикається осі Оx в початку координат і проходить через точку А(0; -4). Написати рівняння цього кола і знайти точки перетину кола з бісектрисами координатних кутів. 7) Написати рівняння кола, яке проходить через початок координат. і через точки перетину кола x^2+y^2=а^2 з прямою x+y+a=0. 8) Написати рівняння дотичних, які проведені з початку координат до кола, що проходить через точки А(1; -2), В(0; -1) і С(-3:0). 9) Знайти кут між радіусами кола x^2+y^2-4x+6y - 5 = 0, що проведені в точки перетину кола з віссю Ох. 10) Точка М(x; у) рухається так, що сума квадратів відстаней від неї до початку координат і до точки А(-а; 0) постійо дорівнює а^2. Ви- значити траєкторію руху точки М.

Answer 1

Ответ:

Визначити траєкторію точки М(x, у), яка рухається так, що

сума квадратів відстаней від неї до точок А(-a; 0), В(0;a) і С(a; 0) по-

стійно дорівнює За^2?

6) Коло дотикається осі Оx в початку координат і проходить через .

Answer 2

1) Рівняння прямої у нормальній формі має вигляд:

\[ \dfrac{x}{h} + \dfrac{y}{k} = 1, \]

де \(h\) та \(k\) - це координати точки, через яку проходить пряма. У даному випадку \(h = 4\) та \(k = -10\), отже рівняння прямої:

\[ \dfrac{x}{4} - \dfrac{y}{10} = 1. \]

Тепер знайдемо відстань від точки \(A(-2, 6)\) до цієї прямої. Використовуючи формулу для відстані від точки до прямої:

\[ d = \dfrac{\left|Ax + By + C\right|}{\sqrt{A^2 + B^2}}, \]

де рівняння прямої має вигляд \(Ax + By + C = 0\), отримаємо:

\[ d = \dfrac{\left|4(-2) - 10(6) + 10\right|}{\sqrt{4^2 + (-10)^2}} = \dfrac{\left|-8 - 60 + 10\right|}{\sqrt{16 + 100}} = \dfrac{58}{\sqrt{116}} = \dfrac{29}{\sqrt{29}} = \sqrt{29}. \]

Отже, відстань від точки \(A\) до прямої дорівнює \(\sqrt{29}\).

2) Рівняння кола має вигляд \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\). Щоб записати рівняння кола, потрібно знайти значення \(D\), \(E\), і \(F\). Підставимо точки перетину кола і прямої у вищенаведене рівняння і отримаємо систему:

\[ \begin{cases} (4)^2 + (4)^2 + D(4) + E(4) + F = 0 \\ (-4)^2 + (-4)^2 + D(-4) + E(-4) + F = 0 \\ (-1)^2 + (-1)^2 + D(-1) + E(-1) + F = 0 \end{cases} \]

Розв'яжемо цю систему рівнянь, щоб знайти значення \(D\), \(E\), і \(F\).

3) Рівняння кола дано у звичайному вигляді. Щоб знайти рівняння дотичних, проведених з початку координат, потрібно знайти точки дотику. Знайдемо похідні рівняння кола за \(x\) та \(y\), прирівняємо їх до нуля і знайдемо координати точок дотику. Підставимо ці точки у рівняння кола і знайдемо рівняння дотичних.

4) Тут потрібно знайти траєкторію точки \(M\), для чого визначимо рух точки \(M\) так, щоб кут між радіусом і відрізком між точками \(O\) та \(A\) був прямим. Це можна зробити шляхом визначення функції руху точки \(M\).

5) Траєкторія точки \(M(x, y)\), для якої сума квадратів відстаней від неї до точок \(A(-a, 0)\), \(B(0, a)\) і \(C(a, 0)\) постійно дорівнює \(A^2\), може бути знайдена шляхом розв'язання рівняння:

\[ (x + a)^2 + y^2 + (x - a)^2 + y^2 + x^2 + (y - a)^2 = A^2. \]

6) Коло, що дотикається осі \(Ox\) в початку координат і проходить через точку \(A(0, -4)\), можна знайти, використовуючи відомі координати цих точок і властивість кола дотикатися до осі \(Ox\). Також треба знайти точки перетину кола з бісектрисами координатних кутів.

7) Рівняння кола, яке проходить через початок координат і точки перетину кола \(x^2 + y^2 = a^2\) з прямою \(x + y + a = 0\), може бути знайдено, підставивши ці точки в загальне рівняння кола \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\). Також слід знайти точки перетину цього кола з віссю \(Ox\).

8) Дотичні до кола, проведені з початку координат і проходять через точки \(A(1, -2)\), \(B(0, -1)\) і \(C(-3, 0)\), можна знайти, використовуючи властивості кола та рівняння дотичної.

9) Кут між радіусами кола і віссю \(Ox\), проведеними