Question

1.Дано координати вершин піраміди ABCD: А (4;1;4); B (-3;-1;-4); C (4;-5;1); D (-6;2;-6) Знайти : а) Довжину ребра АВ; б) Площу грані АВC 2. Дано координати вершин піраміди ABCD: А (4;1;4); B (-3;-1;-4); C (4;-5;1); D (-6;2;-6) Знайти : а) Кут між ребрами ABiAD; б) Об’єм піраміди

Answer 1

1.Дано координати вершин піраміди ABCD: А (4;1;4); B (-3;-1;-4); C (4;-5;1); D (-6;2;-6)

Знайти : а) Довжину ребра АВ;

AB = √((xB-xA)²+(yB-yA)²+(zB-zA)²) = -7 -2 -8 = √117 ≈ 10,81665.

б) Площу грані АВC

Находим вектор АС.

AC = √((xC-xA)²+(yC-yA)²+(zC-zA)²) = 0 -6 -3 = √45 ≈ 6,70820.

Векторное произведение  АВ на АС равно:

i           j       k |          i            j

-7    -2    -8 |         -7     -2

0    -6     -3 |       0     -6 = 6i + 0j + 42k - 21j - 48i - 0k =

                                               = -42i - 21j + 42k = (-42; -21; 42).

Модуль равен √((-42)² + (-21)² + 42²) = √(1764+ 441 +1764) = √3969  = 63

Площадь равна (1/2)*63 = 31,5 кв.ед.

2. Дано координати вершин піраміди ABCD: А (4;1;4); B (-3;-1;-4); C (4;-5;1); D (-6;2;-6)

Знайти : а) Кут між ребрами AB i AD;

Вектор AD равен:

AD = √((xD-xA)²+(yD-yA)²+(zD-zA)²) = -10 1 -10 = √201 ≈ 14,1774.

Скалярное произведение AB на AD равно:

-7*(-10) + (-2)*1 + (-8)*(-10) = 70 - 2 + 80 = 148.

cos(AB_AD) = 148/( √117*√201) = 0,965096534 .

Угол равен 0,264984602 радиан или 15,18249931  градуса.

б) Об’єм піраміди.

Объём равен (1/6) смешанного произведения векторов AB, AC и AD.

(AB, AC) * AD = (-42; -21; 42)*(-10; 1; -10) = 420 - 21 - 420 = -21.

V = (1/6)*|-21| = 21/6 = 7/2 = 3,5 куб.ед.

Answer 2

Для розв'язання цих завдань, спершу потрібно знайти відомі величини, такі як довжини ребер і вектори нормалі граней.

Дано координати вершин піраміди ABCD: A(4, 1, 4), B(-3, -1, -4), C(4, -5, 1), D(-6, 2, -6)

1. а) Довжина ребра AB:

Довжина ребра AB визначається як відстань між точками A і B за допомогою формули відстані між двома точками в тривимірному просторі:

AB = √((xB - xA)² + (yB - yA)² + (zB - zA)²)

Підставляючи координати точок A і B:

AB = √((-3 - 4)² + (-1 - 1)² + (-4 - 4)²) = √(49 + 4 + 64) = √117 ≈ 10.82

1. б) Площа грані ABC:

Площа грані ABC може бути знайдена за допомогою векторного добутку векторів, які лежать на цій грані. Візьмемо два вектори, наприклад, AB і AC, і знайдемо їх векторний добуток, а потім обчислимо півнорму цього вектора:

N = AB × AC

де × позначає векторний добуток.

Площа грані S_ABC = 0.5 * ||N||

Виразимо вектори AB і AC:

AB = B - A = (-3 - 4, -1 - 1, -4 - 4) = (-7, -2, -8) AC = C - A = (4 - 4, -5 - 1, 1 - 4) = (0, -6, -3)

Знайдемо векторний добуток:

N = AB × AC = (-2 * -3 - -8 * -6, -8 * 0 - -7 * -3, -7 * -6 - -2 * 0) = (-6 - 48, 24, 42) = (-54, 24, 42)

Тепер знайдемо півнорму вектора N:

||N|| = √((-54)² + 24² + 42²) = √(2916 + 576 + 1764) = √5256 ≈ 72.53

Площа грані S_ABC = 0.5 * ||N|| = 0.5 * 72.53 ≈ 36.27

2. а) Кут між ребрами AB і AD:

Для знаходження кута між ребрами AB і AD використовуйте косинус формули:

cos(θ) = (AB · AD) / (||AB|| * ||AD||)

де · позначає скалярний добуток.

Виразимо вектори AB і AD:

AB = (-7, -2, -8) AD = D - A = (-6 - 4, 2 - 1, -6 - 4) = (-10, 1, -10)

Знайдемо скалярний добуток AB і AD:

AB · AD = (-7 * -10) + (-2 * 1) + (-8 * -10) = 70 - 2 + 80 = 148

Знайдемо довжини векторів AB і AD:

||AB|| = √((-7)² + (-2)² + (-8)²) = √(49 + 4 + 64) = √117 ≈ 10.82 ||AD|| = √((-10)² + 1² + (-10)²) = √(100 + 1 + 100) = √201 ≈ 14.18

Підставляючи ці значення в формулу косинусу, знайдемо кут θ:

cos(θ) = 148 / (10.82 * 14.18) θ = cos^(-1)(148 / (10.82 * 14.18))

Обчислений кут θ буде в радіанах. Щоб перевести його в градуси, помножте на 180 / π.

б) Об'єм піраміди:

Об'єм піраміди може бути знайдений за допомогою формули:

V = (1/3) * S_base * h

де S_base - площа основи піраміди, а h - висота піраміди, яка може бути знайдена, наприклад, за допомогою довжини вектора AD.

Сподіваюся, ці обчислення допоможуть вам вирішити задачі.