Question

Дані координати вершин піраміди А1(3;1;-2), А2(1;-2;1), А3(-2;1;0), А4(2;2;5). Треба знайти: 1 )кут між ребрами А1А2 та А1А4 2) проекцію вектора A1A3 на вектор A1A4 ; 3) площу грані A1A2A3; 4) обєм піраміди, довжину її висоти, та рівняння цієї висоти, вважаючи вершиною точку A4; 5) кут між ребром А1А4 і гранню A1A2A3; 6) рівняння прямої A1A2 і рівняння площини A1A2A3. Зробити схематичний рисунок

Answer 1

Дані координати вершин піраміди:

А1(3;1;-2), А2(1;-2;1), А3(-2;1;0), А4(2;2;5). Треба знайти:

1) кут між ребрами А1А2 та А1А4.

Находим векторы:

А1А2 = (1-3; -2-1; 1-(-2)) = (-2; -3; 3),

его модуль равен √((-2)² + (-3) ² + 3²) = √(4 + 9 + 9) = √22.

А1А4 = (2-3; 2-1; 5-(-2)) = (-1; 1; 7),

его модуль равен √((-1)² + 1 ² + 7²) = √(1 + 1 + 49) = √51.

cos A1 = ((-2)*(-1) + (-3)*1 + 3*7)/(√22 *√51) = 20/√1122 ≈  20/33,496268 ≈  0,597081.

Угол А2А1А4 = arccos 0,597081 = 0,930938 радиан или 53,33884 градуса.  

2) проекцію вектора A1A3 на вектор A1A4.

Находим вектор А1А3 = (-2-3; 1-1; 0-(-2)) = (-5; 0; 2).

Вектор А1А4 = (-1; 1; 7, его модуль равен √51.

Пр А1А3_ А1А4 = ((-5)*(-1)+0*1+2*7)/ √51 = 19/√51 = 19√51/51 ≈ 2,66053.

3) площу грані A1A2A3.

Площадь грани как треугольника равна половине модуля векторного произведения векторов A1A2 и A1A3.

A1A2 х A1A3 =    

i           j           k |           i             j

-2       -3          3 |          -2          -3

-5        0          2 |          -5           0  = -6i – 15j + 0k + 4j - 0i – 15k =

                                                      =  -6i – 11j – 15k.

S (A1A2A3) = (1/2)√((-6)² + (-11)² + (-15)²) = (1/2)√(36 + 121 + 225) = (1/2)√382 ≈ 9,77241 кв. ед.

4) обєм піраміди, довжину її висоти, та рівняння цієї висоти, вважаючи вершиною точку A4;

Объём пирамиды равен (1/6) модуля смешанного произведения векторов (A1A2 х A1A3)*A1A4.

Используем найденные значения.

(A1A2 х A1A3) =  -6     – 11        – 15

               А1А4 = -1         1              7

                             6  +    (-11)   + (-105) = -110.

V = (1/6)*110 = (55/3) куб. ед.

h(А4) = 3V/S(ABC)=3⋅(55/3)/((1/2)√382) = 5.628.

Для уравнения высоты из точки А4(2;2;5) примем её координаты и нормальный вектор(-6; –11; -15) плоскости А1А2А3, который для высоты будет направляющим.

Получаем (x-2)/(-6)=(y-2)/(-11)=(z-5)/(-15).

5) кут між ребром А1А4 і гранню A1A2A3;

Вектор А1А4 = (-1; 1; 7), модуль √51.

Вектор плоскости (-6; -11; -15), модуль √382.

sin a = |-1*(-6)+1*(-11)+7*(-15)|/(√51*√382) = 110/139,5779 ≈ 0,788090.

Угол равен 0,90770 радиан или 52,00739 градуса.

6) рівняння прямої A1A2 і рівняння площини A1A2A3.

Для уравнения прямой А1А2 используем координаты точки А1(3;1;-2) и направляющий вектор А1А2 = (-2; -3; 3).

Уравнение А1А2:

(x – 3)/(-2) = (y – 1)/(-3) = (z + 2)/3.

Для плоскости A1A2A3 тоже используем точку А1(3;1;-2) и нормальный вектор n плоскости A1A2AА3 = (-6; – 11; – 15).

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

nx(x - xA) + ny(y - yB) + nz(z - zC) = 0

Подставим данные и упростим выражение:

(-6)(x ) + (-11(y – 1)+ (-15)(z - (-2) = 0

- 6x - 11y - 15z - 1 = 0 или с положительным коэффициентом перед х:

6x + 11y + 15z + 1 = 0.

Answer 2

Щоб розв'язати ці задачі, нам знадобиться векторна і скалярна алгебра. Давайте розглянемо кожне запитання окремо.

1. Кут між ребрами А1А2 та А1А4: Ми можемо використати скалярний добуток векторів, щоб знайти кут між двома векторами. Скалярний добуток векторів A і B визначається формулою: A · B = |A| * |B| * cos(θ), де θ - це шуканий кут. Враховуючи це, ми можемо обчислити кут між ребрами А1А2 та А1А4 наступним чином:

   Вектор A1A2 = А2 - А1 = (1 - 3, -2 - 1, 1 - (-2)) = (-2, -3, 3) Вектор A1A4 = А4 - А1 = (2 - 3, 2 - 1, 5 - (-2)) = (-1, 1, 7)

   |A1A2| = √((-2)^2 + (-3)^2 + 3^2) = √(4 + 9 + 9) = √22 |A1A4| = √((-1)^2 + 1^2 + 7^2) = √(1 + 1 + 49) = √51

   A1A2 · A1A4 = (-2) * (-1) + (-3) * 1 + 3 * 7 = 2 - 3 + 21 = 20

   cos(θ) = (A1A2 · A1A4) / (|A1A2| * |A1A4|) = 20 / (√22 * √51) ≈ 0.739

   θ ≈ arccos(0.739) ≈ 42.51°

   Таким чином, кут між ребрами А1А2 та А1А4 приблизно дорівнює 42.51°.

2. Проекція вектора A1A3 на вектор A1A4: Проекцію вектора A1A3 на вектор A1A4 можна обчислити за допомогою скалярного добутку векторів.

   Вектор A1A3 = А3 - А1 = (-2 - 3, 1 - 1, 0 - (-2)) = (-5, 0, 2)

   Проекція вектора A1A3 на вектор A1A4 дорівнює: (A1A3 · A1A4) / |A1A4|

   A1A3 · A1A4 = (-5) * (-1) + 0 *