Question

Составьте уравнение касательной к графику функции y=(3x+7)/(x-3)в точке с абcциссой x0=2

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$y=\frac{3x+7}{x-3} \ \ \ \ x_0=2.\\y_k=y(x_0)+y'(x_0)*(x-x_0)\\y(2)=\frac{3*2+7}{2-3}=\frac{6+7}{-1} =-13. \\y'(x_0)=(\frac{3x+7}{x-3} )'=\frac{(3x+7)'*(x-3)-(3x+7)*(x-3)'}{(x-3)^2}=\frac{3*(x-3)-(3x+7)*1}{(x-3)^2}=\\=\frac{3x-9-3x-7}{(x-3)^2}=-\frac{16}{(x-3)^2} . \\y'(2)=-\frac{16}{(2-3)^2}=-\frac{16}{1}=-16 .\ \ \ \ \Rightarrow\\y_k=-13-16*(x-2)=-13-16x+32=19-16x.\\y_k=19-16x.$

Ответ: yk=19-16x.

Answer 2

Для составления уравнения касательной к графику функции в заданной точке, нам необходимо найти значение производной функции в этой точке и использовать его в уравнении касательной.

Данная функция представлена в виде y = (3x + 7)/(x - 3). Чтобы найти значение производной в точке x₀ = 2, мы должны сначала найти производную функции по переменной x, а затем подставить x₀.

Нахождение производной функции:

Для нахождения производной функции, воспользуемся правилом дифференцирования частного и правилом дифференцирования линейной функции.

y = (3x + 7)/(x - 3)

Используем правило дифференцирования частного: (dy/dx) = [(3)(x - 3) - (3x + 7)(1)] / (x - 3)²

(dy/dx) = (3x - 9 - 3x - 7) / (x - 3)² (dy/dx) = (-16) / (x - 3)²

Подстановка значения x₀ = 2:

(dy/dx) = (-16) / (2 - 3)² (dy/dx) = (-16) / (-1)² (dy/dx) = -16

Таким образом, мы получили значение производной функции в точке x₀ = 2, равное -16.

Уравнение касательной:

Уравнение касательной к графику функции в точке (x₀, y₀) имеет вид: y - y₀ = slope * (x - x₀),

где slope - значение производной функции в точке x₀.

Подставим найденные значения: y - y₀ = -16 * (x - x₀),

Так как x₀ = 2, то подставим это значение: y - y₀ = -16 * (x - 2),

Теперь нам нужно найти значение y₀, которое соответствует данной точке. Подставим x₀ = 2 в исходное уравнение функции: y₀ = (3 * 2 + 7) / (2 - 3) y₀ = (6 + 7) / (-1) y₀ = 13 / -1 y₀ = -13

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y = (3x + 7)/(x - 3) в точке x₀ = 2 выглядит следующим образом: y - (-13) = -16 * (x - 2)