Question

Помогите пожалуйста, срочно 1. напишите уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке графика с абсциссой x0, если:a) f(x)=x²+6x-7, x0=-2б) f(x)=log3x, x0=1в) f(x)=e^x, x0=22. Дана функция f(x)=x³-3x²-3x+5. Напишите уравнения касательной к графику функции y=f(x), параллельной прямой y=-3x+43. Дана функция f(x)=x²+2x-2. Напишите уравнение касательной к графику функции y=f(x), проходящей через точку A(0;-6)​

Answer 1

Ответ:

а) производная от f(x)=x²+6x-7 ⇒ 2х+6 ⇒ при х=-2(это абсцисса точки     касания) равна 2·(-2)+6=2.

  f(x)=x²+6x-7 при х=-2 равно 4-12-7=-15( это ордината у точки касания)

   тогда уравнение касательной: у+15=2(х+2) ⇒ у=2(х+2)-15

б)  производная от f(x)=log3x⇒(loge/3x)·3 ⇒ при х=1(это абсцисса точки     касания) равна loge

 f(x)= log3x при х=1 равно log3  ( это ордината у точки касания)

   тогда уравнение касательной: у-log3 =loge(х-1) ⇒ у=loge(х-1)+log3

в) производная от f(x)=e^x ⇒ e^x ⇒ при х=2(это абсцисса точки касания) равна e^2

   f(x)=e^x при х=2 равно e^2 (это ордината у точки касания)

    тогда уравнение касательной: у-e^2=e^2(x-2) ⇒ y=e^2(x-2)+e^2⇒

    y=e^2(x-1)

2) производная от f(x)=x³-3x²-3x+5⇒ 3х²-6х-3 должна быть равна -3( угловому коэффициенту прямой y=-3x+4) по условию параллельности. Т.е  3х²-6х-3=-3⇒3х²-6х значит искомое уравнение касательной будет

   у=3х²-6х

3) производная  от f(x)=x²+2x-2 ⇒ 2х+2 ⇒ при х=0 равна 2

 Тогда искомое уравнение касательной будет:

   у+6=2(х-0) ⇒ у=2х-6

Пошаговое объяснение:

Answer 2

1. Для нахождения уравнения касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x0, мы должны выполнить следующие шаги:

a) Функция f(x) = x² + 6x - 7, x0 = -2. Сначала найдем значение функции в точке x0: f(-2) = (-2)² + 6*(-2) - 7 = 4 - 12 - 7 = -15.

Теперь найдем производную функции f(x): f'(x) = 2x + 6.

Далее, вычислим производную в точке x0: f'(-2) = 2*(-2) + 6 = -4 + 6 = 2.

Теперь мы знаем значение производной в точке x0, и можем написать уравнение касательной: y - f(x0) = f'(x0) * (x - x0). y - (-15) = 2 * (x - (-2)). y + 15 = 2 * (x + 2).

Это уравнение касательной к графику функции y = x² + 6x - 7 в точке с абсциссой x0 = -2.

б) Функция f(x) = log3(x), x0 = 1. Сначала найдем значение функции в точке x0: f(1) = log3(1) = 0.

Теперь найдем производную функции f(x): f'(x) = 1 / (x * ln(3)), где ln(3) - натуральный логарифм числа 3.

Далее, вычислим производную в точке x0: f'(1) = 1 / (1 * ln(3)) = 1 / ln(3).

Теперь мы знаем значение производной в точке x0, и можем написать уравнение касательной: y - f(x0) = f'(x0) * (x - x0). y - 0 = (1 / ln(3)) * (x - 1).

Это уравнение касательной к графику функции y = log3(x) в точке с абсциссой x0 = 1.

в) Функция f(x) = e^x, x0 = 2. Сначала найдем значение функции в точке x0: f(2) = e².

Теперь найдем производную функции f(x): f'(x) = e^x.

Далее, вычислим производную в точке x0: f'(2) = e².

Теперь мы знаем значение производной в точке x0, и можем написать уравнение касательной: y - f(x0) = f'(x0) * (x - x0). y - e² = e² * (x - 2).

Это уравнение касательной к графику функции y = e^x в точке с абсциссой x0 = 2.

2. Для написания уравнения касательной к графику функции y = f(x), параллельной прямой y = -3x + 43, мы используем факт, что две параллельные линии имеют одинаковый наклон (коэффициент наклона).

Для функции y = f(x) нам необходимо найти производную f'(x) и использовать ее коэффициент наклона, который будет равен -3 (так как прямая y = -3x + 43 имеет наклон -3).

Пусть f'(x0) = -3 (коэффициент наклона прямой). Тогда уравнение касательной будет иметь вид: y - f(x0) = -3 * (x - x0).

3. Для написания уравнения касательной к графику функции y = f(x), проходящей через точку A(0, -6), мы должны использовать координаты этой точки.

Пусть точка A(0, -6) лежит на касательной к графику функции y = f(x). Тогда уравнение касательной можно записать в следующем виде: y - y0 = f'(x0) * (x - x0),

где (x0, y0) - координаты точки A(0, -6), и f'(x0) - значение производной функции в точке x0.

Так как x0 = 0 и y0 = -6, уравнение касательной примет следующий вид: y - (-6) = f'(0) * (x - 0), y + 6 = f'(0) * x.

Для нахождения f'(0) нужно вычислить производную функции f(x) = x² + 2x - 2 и подставить x0 = 0: f'(x) = 2x + 2, f'(0) = 2 * 0 + 2 = 2.

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y = f(x), проходящей через точку A(0, -6), будет: y + 6 = 2x.