Question

Рівняння висоти в трикутнику АВС, проведеної з вершини А; .A(1;-5); B(-1;5); C(8;-1).

Answer 1

Щоб знайти рівняння висоти трикутника ABC, проведеної з вершини A, спочатку знайдемо координати точки B і точки C. Відомо, що A(1,-5), B(-1,5) і C(8,-1).

1. Знайдемо координати векторів \(\overrightarrow{AB}\) і \(\overrightarrow{AC}\): \[\overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - 1, 5 - (-5)) = (-2, 10),\] \[\overrightarrow{AC} = C - A = (8 - 1, (-1) - (-5)) = (7, 4).\]

2. Тепер знайдемо скалярний добуток векторів \(\overrightarrow{AB}\) і \(\overrightarrow{AC}\): \[\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-2 \cdot 7) + (10 \cdot 4) = -14 + 40 = 26.\]

3. Обчислимо довжину вектора \(\overrightarrow{AB}\): \[|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (10)^2} = \sqrt{4 + 100} = \sqrt{104}.\]

4. Знайдемо висоту \(h\) за формулою: \[h = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|}.\]

Підставимо відомі значення: \[h = \frac{26}{\sqrt{104}} = \frac{26}{2\sqrt{26}} = \frac{13}{\sqrt{26}}.\]

5. Тепер складемо рівняння прямої, яка проходить через точки A і B. Використаємо формулу для визначення рівняння прямої, що проходить через дві точки \((x_1, y_1)\) і \((x_2, y_2)\):

\[y - y_1 = m(x - x_1),\]

де \(m\) - коефіцієнт наклона прямої, який рівний \(\frac{h}{|\overrightarrow{AB}|}\), а \((x_1, y_1)\) - координати точки A.

\[y - (-5) = \frac{13}{\sqrt{26}} \cdot (x - 1).\]

Зробимо деякі алгебраїчні перетворення для зручності:

\[y + 5 = \frac{13}{\sqrt{26}} \cdot (x - 1).\]

Таким чином, рівняння висоти трикутника ABC, проведеної з вершини A, має вигляд:

\[y = \frac{13}{\sqrt{26}} \cdot (x - 1) - 5.\]

Це рівняння висоти прямокутного трикутника ABC, проведеної з вершини A.