Question

Задано три точки А, В, С. Знайти: 1) рівняння прямої ВС; 2) рівняння прямої, яка проходить через точку А паралельно до прямої ВС; 3) кут АВС; 4) рівняння та довжину медіани в трикутнику АВС, яка проведена з вершини А; 5) рівняння та довжину висоти в трикутнику АВС, проведеної з вершини А; 6) знайти точку А1, яка симетрична точці А відносно прямої ВС. A(1;-5); B(-1;5); C(8;-1).

Answer 1

1) Рівняння прямої ВС

Для знаходження рівняння прямої ВС, ми можемо використовувати формулу для знаходження рівняння прямої, яка проходить через дві точки.

Для точок В(-1, 5) і С(8, -1), ми можемо використати формулу:

y - y₁ = m(x - x₁)

де (x₁, y₁) - координати точки В, а m - нахил прямої ВС.

Використовуючи цю формулу, підставимо значення координат точки В і С:

y - 5 = m(x + 1)

2) Рівняння прямої, яка проходить через точку А паралельно до прямої ВС

Так як пряма, яка проходить через точку А, паралельна до прямої ВС, має той самий нахил, що і пряма ВС, ми можемо використати той самий нахил (m) і підставити значення координат точки А (1, -5) в рівняння прямої ВС:

y - (-5) = m(x - 1)

3) Кут АВС

Для знаходження кута АВС, ми можемо використовувати теорему косинусів. За цією теоремою, косинус кута між двома сторонами трикутника дорівнює відношенню суми квадратів інших двох сторін до добутку їх довжин.

У нашому випадку, сторони АВ і АС є відрізками, які можна знайти за допомогою формули відстані між двома точками:

AB = sqrt((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

Використовуючи цю формулу, ми знаходимо довжини сторін АВ і АС. Потім, використовуючи теорему косинусів, ми знаходимо кут АВС:

cos(∠AVC) = (AB² + AC² - BC²) / (2 * AB * AC)

4) Рівняння та довжину медіани в трикутнику АВС, проведеної з вершини А

Медіана в трикутнику - це відрізок, який з'єднує вершину трикутника з серединою протилежної сторони. Для знаходження рівняння медіани, можна використати формулу для знаходження середини відрізка:

x = (x₁ + x₂) / 2 y = (y₁ + y₂) / 2

де (x₁, y₁) і (x₂, y₂) - координати вершини та середини сторони, відповідно. Знаходячи середину сторони ВС, ми отримуємо середину медіани, яка проходить через вершину А.

Довжина медіани може бути знайдена за допомогою формули відстані між двома точками.

5) Рівняння та довжину висоти в трикутнику АВС, проведеної з вершини А

Висота в трикутнику - це відрізок, який проходить через вершину трикутника та перпендикулярний до протилежної сторони. Для знаходження рівняння висоти, можна використати формулу для знаходження рівняння прямої, яка проходить через вершину трикутника та перпендикулярної до протилежної сторони.

Знаходячи нахил прямої, який є перпендикулярним до BC, ми можемо використати властивість, що взаємно обернені числа мають добуток -1. Тобто, якщо нахил прямої BC дорівнює m, то нахил прямої, яка є перпендикулярною до BC, дорівнює -1/m.

Використовуючи цей нахил і підставляючи значення координат точки А (1, -5) в рівняння прямої, ми можемо знайти рівняння висоти.

Довжина висоти може бути знайдена за допомогою формули відстані між точкою і прямою. Відстань між точкою і прямою дорівнює довжині перпендикуляра, опущеного з точки на пряму.

6) Знаходження точки А1, яка є симетричною до точки А відносно прямої ВС

Щоб знайти точку А1, яка є симетричною до точки А відносно прямої ВС, ми можемо використати формулу для знаходження симетричної точки відносно прямої.

Формула для знаходження симетричної точки (x₁, y₁) відносно прямої з рівнянням y = mx + b має вигляд:

x₁ = (x - m(y - b)) / (1 + m²) y₁ = (m²y + mx + b) / (1 + m²)

Використовуючи цю формулу і підставляючи значення координат точки А (1, -5) і нахилу прямої ВС, ми можемо знайти координати точки А1.

Застосовуючи розглянуті методи, ми можемо знайти відповіді на всі запитання, що вказані у вашому завданні.