Question

Задано три точки A(6;-1); B(-3;-1); C(1;1). Знайти: 1) рівняння прямої ВС; 2) рівняння прямої, яка проходить через точку А паралельно до прямої ВС; 3) кут АВС; 4) рівняння та довжину медіани в трикутнику АВС, яка проведена з вершини А; 5) рівняння та довжину висоти в трикутнику АВС, проведеної з вершини А; 6) знайти точку А1, яка симетрична точці А відносно прямої ВС.

Answer 1

1) Рівняння прямої ВС

Для знаходження рівняння прямої ВС, яка проходить через точки B(-3,-1) та C(1,1), використаємо формулу для знаходження рівняння прямої, яка проходить через дві точки.

1. Розрахуємо нахил прямої (slope): slope = (y2 - y1) / (x2 - x1) slope = (1 - (-1)) / (1 - (-3)) slope = 2 / 4 slope = 1/2

2. Знаходимо точку перетину прямої з віссю y (y-intercept). Для цього підставимо координати однієї з точок (наприклад, точки C) та нахил у рівняння прямої: y = mx + b 1 = (1/2)(1) + b 1 = 1/2 + b b = 1 - 1/2 b = 1/2

3. Отримали рівняння прямої ВС: y = (1/2)x + 1/2

2) Рівняння прямої, яка проходить через точку А паралельно до прямої ВС

Для знаходження рівняння прямої, яка проходить через точку A(6,-1) та паралельно до прямої ВС, використаємо формулу для знаходження рівняння прямої, яка проходить через точку та має той самий нахил, що й дана пряма.

1. Візьмемо нахил прямої ВС, який ми розрахували раніше: slope = 1/2

2. Знаходимо точку перетину прямої з віссю y (y-intercept). Для цього підставимо координати точки A та нахил у рівняння прямої: y = mx + b -1 = (1/2)(6) + b -1 = 3 + b b = -1 - 3 b = -4

3. Отримали рівняння прямої, яка проходить через точку A та паралельно до прямої ВС: y = (1/2)x - 4

3) Кут АВС

Для знаходження кута АВС використаємо формулу для обчислення кута між двома векторами:

cos(θ) = (AB · BC) / (|AB| * |BC|)

1. Знайдемо вектори AB та BC: AB = (x2 - x1, y2 - y1) = (-3 - 6, -1 - (-1)) = (-9, 0) BC = (x3 - x2, y3 - y2) = (1 - (-3), 1 - (-1)) = (4, 2)

2. Обчислимо скалярний добуток векторів AB та BC: AB · BC = (-9 * 4) + (0 * 2) = -36

3. Обчислимо довжини векторів AB та BC: |AB| = √((-9)^2 + 0^2) = √81 = 9 |BC| = √(4^2 + 2^2) = √20 = 2√5

4. Підставимо значення в формулу для знаходження кута: cos(θ) = (-36) / (9 * 2√5) = -4 / √5

5. Використаємо тригонометричну таблицю для знаходження значення кута θ: θ ≈ 143.13°

Отже, кут АВС приблизно дорівнює 143.13°.

4) Рівняння та довжина медіани в трикутнику АВС, проведеної з вершини А

Для знаходження рівняння та довжини медіани в трикутнику АВС, проведеної з вершини А, використаємо наступні кроки:

1. Знайдемо координати середини відрізка BC, яке є медіаною трикутника. Для цього використовуємо формулу середини відрізка: x = (x2 + x3) / 2 y = (y2 + y3) / 2 x = (-3 + 1) / 2 = -1 y = (-1 + 1) / 2 = 0

Точка D(-1, 0) є серединою відрізка BC та точкою перетину медіани зі стороною BC.

2. Знаходимо рівняння медіани, яка проходить через точку А та точку D. Використаємо формулу для знаходження рівняння прямої, яка проходить через дві точки: slope = (yD - yA) / (xD - xA) slope = (0 - (-1)) / (-1 - 6) slope = 1 / (-7) slope = -1/7

Знаходимо точку перетину медіани з віссю y (y-intercept). Для цього підставимо координати точки A та нахил у рівняння прямої: y = mx + b -1 = (-1/7)(6) + b -1 = -6/7 + b b = -1 + 6/7 b = -1/7

Отримали рівняння медіани: y = (-1/7)x - 1/7

3. Знайдемо довжину медіани AD за допомогою формули відстані між двома точками: d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) d = √((-1 - 6)^2 + (0 - (-1))^2) d = √((-7)^2 + (1)^2) d = √(49 + 1) d = √50 d = 5√2

Отже, рівняння медіани AD: y = (-1/7)x - 1/7, а довжина медіани AD дорівнює 5√2.

5) Рівняння та довжина висоти в трикутнику АВС, проведеної з вершини А

Для знаходження рівняння та довжини висоти в трикутнику АВС, проведеної з вершини А, використовуємо наступні кроки:

1. Знайдемо нахил сторони ВС. Використаємо формулу для знаходження нахилу прям