Question

Дано координати вершин чотиригранника ABCD Засобами векторної алгебри знайти: • довжину ребра АВ; • рівняння прямої АВ; • рівняння площини АВС; • кут нахилу ребра AD до площини АВС; • площу грані АВС; • об’єм тетраедра; • рівняння висоти DE, опущеної з вершини D на грань АВС; • довжину висоти DE; • проекцію Е вершини D на площину АВС; • точку D’, симетричну точці D відносно грані АВС; • площину, що проходить через ребро AD перпендику- лярно до площини АВС. A(–3;–2;–4); B(3;6;–1); C(–6;–6;–3); D(4;–1;–4).​

Answer 1

Відповідь:

еслине ошибаюсь то будет:

Покрокове пояснення:

Б

Answer 2

Давайте розглянемо кожен пункт по черзі:

1. Довжина ребра AB: Використовуємо формулу відстані між двома точками в тривимірному просторі: \[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} \]

Підставимо координати точок A і B: \[ AB = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (6 - (-2))^2 + ((-1) - (-4))^2} \] \[ AB = \sqrt{6^2 + 8^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 64 + 9} = \sqrt{109} \]

2. Рівняння прямої AB: Рівняння прямої в векторній формі можна представити як: \[ \vec{r} = \vec{r_A} + t \cdot \vec{v_{AB}} \] де \(\vec{r_A}\) - вектор координат початкової точки, \(\vec{v_{AB}}\) - вектор напрямку ребра AB, а \(t\) - параметр.

\[ \vec{r} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \] \[ \vec{r_A} = \begin{bmatrix} -3 \\ -2 \\ -4 \end{bmatrix} \] \[ \vec{v_{AB}} = \begin{bmatrix} 3 - (-3) \\ 6 - (-2) \\ (-1) - (-4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 8 \\ 3 \end{bmatrix} \]

Тепер можемо записати рівняння прямої: \[ \begin{cases} x = -3 + 6t \\ y = -2 + 8t \\ z = -4 + 3t \end{cases} \]

3. Рівняння площини ABC: Рівняння площини можна записати у вигляді: \[ Ax + By + Cz + D = 0 \] де \((A, B, C)\) - вектор нормалі до площини, а \(-D\) - відстань від початку координат до площини.

Визначимо вектор нормалі: \[ \vec{N_{ABC}} = (\vec{v_{AB}} \times \vec{v_{AC}}) \] де \(\times\) - векторний добуток, а \(\vec{v_{AC}}\) - вектор напрямку від A до C. \[ \vec{v_{AC}} = \begin{bmatrix} (-6) - (-3) \\ (-6) - (-2) \\ (-3) - (-4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ -4 \\ 1 \end{bmatrix} \]

Тепер визначимо вектор нормалі: \[ \vec{N_{ABC}} = \begin{bmatrix} 6 \\ 8 \\ 3 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} -3 \\ -4 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 20 \\ -15 \\ -36 \end{bmatrix} \]

Знайдемо відстань D: \[ D = -\vec{r_A} \cdot \vec{N_{ABC}} = -\begin{bmatrix} -3 \\ -2 \\ -4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 20 \\ -15 \\ -36 \end{bmatrix} = 218 \]

Рівняння площини: \[ 20x - 15y - 36z + 218 = 0 \]

4. Кут нахилу ребра AD до площини ABC: Кут нахилу можна знайти використовуючи скалярний добуток: \[ \cos{\theta} = \frac{\vec{v_{AD}} \cdot \vec{N_{ABC}}}{|\vec{v_{AD}}| \cdot |\vec{N_{ABC}}|} \] де \(\vec{v_{AD}}\) - вектор напрямку від A до D. \[ \vec{v_{AD}} = \begin{bmatrix} 4 - (-3) \\ -1 - (-2) \\ -4 - (-4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 1 \\ -0 \end{bmatrix} \]

Тепер знайдемо косинус кута: \[ \cos{\theta} = \frac{\begin{bmatrix} 7 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 20 \\ -15 \\ -36 \end{bmatrix}}{\sqrt{7^2 + 1^2 + 0^2} \cdot \sqrt{20^2 + 15^2 + 36^2}} \] \[ \cos{\theta} \approx \frac{-230}{\sqrt{50} \cdot \sqrt{1461}} \]

Тепер можна знайти кут: \[ \theta \approx \arccos{\left(\frac{-230}{\sqrt{50} \cdot \sqrt{1461}}\right)} \]

5. Площа грані ABC: Площу грані можна знайти за допомогою піввекторного добутку: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2}|\vec{v_{AB}} \times \vec{v_{AC}}| \] \[ \vec{v_{AB}} \times \vec{v_{AC}} = \begin{bmatrix} 6 \\ 8 \\ 3 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} -3 \\ -4 \\ 1 \end{