Question

Найдите корни многочлена f(x)=x^5-x^4-2x^3+2x^2+x-1, зная, что все они являются целыми числами. В ответ запишите корень с максимальной кратностью.

Answer 1

Для нахождения корней многочлена f(x) = x^5 - x^4 - 2x^3 + 2x^2 + x - 1, мы можем использовать различные методы, такие как использование графиков, деление синтетическим методом или использование теоремы о рациональных корнях.

Однако, в данном случае нам известно, что все корни являются целыми числами. Это означает, что мы можем использовать метод подстановки целых чисел для поиска корней многочлена.

Метод подстановки целых чисел предполагает подстановку различных целых значений в многочлен и проверку, дает ли это значение ноль. Если значение даёт ноль, то это является корнем многочлена.

Давайте применим этот метод для многочлена f(x). Начнем с подстановки нуля:

f(0) = (0)^5 - (0)^4 - 2(0)^3 + 2(0)^2 + 0 - 1 = -1

Значение не является нулем, поэтому ноль не является корнем многочлена.

Теперь попробуем подставить другие целые числа. Давайте начнем с положительных чисел:

f(1) = (1)^5 - (1)^4 - 2(1)^3 + 2(1)^2 + 1 - 1 = 0

Значение равно нулю, поэтому x = 1 является корнем многочлена.

Далее, продолжим подстановку отрицательных чисел:

f(-1) = (-1)^5 - (-1)^4 - 2(-1)^3 + 2(-1)^2

Answer 2

Для того чтобы найти корни многочлена f(x) = x^5 - x^4 - 2x^3 + 2x^2 + x - 1, учитывая, что все они являются целыми числами, мы можем использовать теорему о целочисленных корнях.

Теорема о целочисленных корнях (теорема Рациональных корней):

Если многочлен имеет целый коэффициент при старшей степени и целый свободный член, то любой его рациональный корень должен быть делителем свободного члена, и в то же время делителем коэффициента при старшей степени.

Таким образом, чтобы найти целочисленные корни многочлена f(x), мы можем перебрать все делители свободного члена (-1) и проверить, являются ли они целыми корнями. Делители (-1) включают: -1, 1.

Подставим эти значения в многочлен f(x):

- При x = -1: f(-1) = (-1)^5 - (-1)^4 - 2(-1)^3 + 2(-1)^2 + (-1) - 1 = -1 + 1 + 2 - 2 + (-1) - 1 = -2 - При x = 1: f(1) = (1)^5 - (1)^4 - 2(1)^3 + 2(1)^2 + (1) - 1 = 1 - 1 - 2 + 2 + 1 - 1 = 0

Мы видим, что x = 1 является корнем многочлена f(x). Теперь мы можем использовать синтетическое деление или деление с остатком, чтобы разложить многочлен на множители.

Разложение многочлена:

f(x) = (x - 1)(x^4 - 2x^2 - 1)

Теперь мы можем сосредоточиться на множителе x^4 - 2x^2 - 1. Чтобы найти дополнительные целочисленные корни, мы можем снова использовать теорему о целочисленных корнях и перебирать делители свободного члена (-1) этого многочлена, а именно: -1, 1.

Подставим эти значения:

- При x = -1: (-1)^4 - 2(-1)^2 - 1 = 1 - 2 - 1 = -2 - При x = 1: (1)^4 - 2(1)^2 - 1 = 1 - 2 - 1 = -2

Мы видим, что x = -1 и x = 1 также являются корнями многочлена x^4 - 2x^2 - 1. Используя снова синтетическое деление или деление с остатком, мы можем разложить многочлен x^4 - 2x^2 - 1 на множители.

Разложение многочлена:

x^4 - 2x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)

Таким образом, корни многочлена f(x) = x^5 - x^4 - 2x^3 + 2x^2 + x - 1 среди целых чисел -1 и 1 являются корнями с максимальной кратностью.