Question

Найдите корни многочлена f(x)=x^6+x^5-4x^4-2x^3+5x^2+x-2, зная, что все они являются целыми числами. В ответ запишите корень с максимальной кратностью.

Answer 1

Чтобы найти корни многочлена, известные также как его нули, вы можете воспользоваться различными методами, такими как рациональные корни теоремы, метод группировки, синтетическое деление и т. д. В данном случае мы знаем, что все корни являются целыми числами.

Многочлен имеет степень 6, и он записан в стандартной форме:

\[ f(x) = x^6 + x^5 - 4x^4 - 2x^3 + 5x^2 + x - 2. \]

Давайте воспользуемся теоремой рациональных корней. Эта теорема гласит, что если многочлен с целыми коэффициентами имеет рациональный корень \( \frac{p}{q} \), то \( p \) делится на коэффициент при старшей степени, а \( q \) делится на коэффициент при свободном члене.

В данном случае коэффициент при старшей степени (при \( x^6 \)) равен 1, а коэффициент при свободном члене (при константе -2) тоже равен 1. Таким образом, рациональные корни будут делителями свободного члена, то есть числителей делителей -2. Такими делителями являются ±1, ±2.

Пробуем подставить эти значения в многочлен и проверяем, есть ли корень:

1. \( f(1) = 1^6 + 1^5 - 4 \cdot 1^4 - 2 \cdot 1^3 + 5 \cdot 1^2 + 1 - 2 = 0 \) 2. \( f(-1) = (-1)^6 + (-1)^5 - 4 \cdot (-1)^4 - 2 \cdot (-1)^3 + 5 \cdot (-1)^2 - 1 - 2 = 0 \) 3. \( f(2) = 2^6 + 2^5 - 4 \cdot 2^4 - 2 \cdot 2^3 + 5 \cdot 2^2 + 2 - 2 = 0 \) 4. \( f(-2) = (-2)^6 + (-2)^5 - 4 \cdot (-2)^4 - 2 \cdot (-2)^3 + 5 \cdot (-2)^2 - 2 - 2 = 0 \)

Таким образом, корни многочлена \( f(x) \) - это \( x = 1, -1, 2, -2 \).

Теперь, чтобы найти корень с максимальной кратностью, нужно определить, какой из этих корней повторяется. Для этого можно воспользоваться синтетическим делением или другими методами, но можно также заметить, что многочлен четной степени, а значит, корень и его противоположный корень будут иметь одинаковую кратность.

Таким образом, корень с максимальной кратностью - это \( x = 1 \) или \( x = -1 \).