Question

Решить неравенство -sin(3x) / √cos(2x) > 0

Answer 1

Sin3x-√3cos2x-sinx=0

sin2x cosx+sinx cos2x-√3cos2x-sinx=0

2sinx cos²x+sinx( cos2x -1)-√3(cos²x-sin²x)=0

2sinx (1-sin²x)-sinx( 2sin²x)-√3(1-2sin²x)=0

-4sin³x+2sinx+2√3sin²x-√3=0

sinx=t It I≤1

-4t³+2√3 t²+2t-√3=0

(4t³-2√3 t²)-(2t-√3)=0

2t²(2t-√3)-(2t-√3)=0 (2t-√3)(2t²-1)=0 ⇒t1=√3/2 t2=1/√2 t3= -1/√2

t1=√3/2

sinx=√3/2 ⇔ x=(-1)^n ·π/3 +πn, n∈Z

t2=1/√2 t3= -1/√2 sin²x =1/2 ⇔2sin²x=1 1-cos2x=1 ⇔cos2x=0

2x=π/2+πn, n∈Z

x=π/4+πn/2, n∈Z

Answer 2

Для решения данного неравенства:

-sin(3x) / √cos(2x) > 0

Мы можем воспользоваться следующими шагами:

1. Определите область допустимых значений (ОДЗ) для переменной `x`. В данном случае, знаменатель не может быть равен нулю, поэтому `cos(2x)` не может равняться нулю. Так как `cos(2x)` равен нулю при `2x = π/2 + kπ`, где `k` - целое число, нам нужно исключить такие значения `x`. То есть, мы должны исключить `x = (π/4 + kπ)/2` из ОДЗ.

2. Рассмотрим знаки числителя и знаменателя в неравенстве в разных интервалах:

- Интервал 1: `cos(2x) > 0`. В этом интервале `sin(3x)` и `√cos(2x)` будут иметь одинаковый знак, так как оба будут положительными (поскольку `cos(2x)` положительный). Значит, `-sin(3x) / √cos(2x)` также будет положительным.

- Интервал 2: `cos(2x) < 0`. В этом интервале `sin(3x)` и `√cos(2x)` будут иметь противоположные знаки. Значит, `-sin(3x) / √cos(2x)` будет отрицательным.

Теперь мы можем определить интервалы, в которых неравенство выполняется:

- Интервал 1: `cos(2x) > 0`, который соответствует интервалам `(0, π/4) + kπ` и `(-π/4, 0) + kπ`, где `k` - целое число. В этом интервале неравенство `-sin(3x) / √cos(2x) > 0` выполняется.

- Интервал 2: `cos(2x) < 0`, который соответствует интервалам `(π/4, π/2) + kπ` и `(-3π/4, -π/2) + kπ`, где `k` - целое число. В этом интервале неравенство `-sin(3x) / √cos(2x) > 0` также выполняется.

Теперь мы можем записать общее решение неравенства:

`x ∈ ((0, π/4) + kπ) ∪ ((-π/4, 0) + kπ) ∪ ((π/4, π/2) + kπ) ∪ ((-3π/4, -π/2) + kπ)`

где `k` - целое число.

Это означает, что `x` должен принимать значения на периодических интервалах, где `cos(2x)` положительное или отрицательное, и в этих интервалах неравенство выполняется.