Question

Знайти довжину дуги r=1-cos fi , r= 1

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

сначала нарисуем график и определим из чего состоит наша дуга

1/2 окружности r=1

2 дуги кардиоиды от 0 до π/2 r=1-cosФ

формула для расчета дуги в полярных координатах

$\displaystyle L=\int\limits^a_b {\sqrt{r'_{\phi} ^2+r^2(\phi)} \, dx$

1/2 окружности r=1

$\displaystyle L_1=\int\limits^\pi _0 {} \, d\phi=\phi\bigg |_0^\pi = \pi$

2 дуги кардиоиды от 0 до π/2 r=1-cosФ

$\displaystyle L_2=2\int\limits^{\pi /2}_0 {\sqrt{sin^2\phi +(1-cos\phi )^2} } \, dx =2\int\limits^{\pi /2}_0 {\sqrt{(2-2cos\phi)}} \, d\phi =$

1-cosФ = 2sin²(Ф/2)

$\displaystyle =4\int\limits^{\pi /2}_0 {\bigg|sin(\frac{\phi}{2})\bigg | } \, d\phi =\left[\begin{array}{ccc}u=\phi/2\quad du=dx/2\hfill\\u_1=0 \quad u_2 = \pi /4\hfill\\|sin\phi |=sin\phi \quad 0$

$\displaystyle =8\int\limits^{\pi /4}_0{sinu} \, du =-8cosu \bigg |_0^{\pi /4}=8-4\sqrt{2}$

и теперь L = L₁ +L₂ = π +8 -4√2

Answer 2

Для нахождения длины дуги между двумя кривыми в полярных координатах, вам потребуется определить интеграл длины этой дуги. В данном случае у вас есть две кривые, заданные уравнениями:

1. \( r = 1 - \cos(\theta) \) 2. \( r = 1 \)

Для нахождения длины дуги между двумя угловыми точками \(\theta_1\) и \(\theta_2\) на этих кривых, вы можете использовать формулу для интеграла длины:

\[ L = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{r^2 + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2} d\theta \]

где \( r \) - это радиус-вектор от начала координат до точки на кривой, \(\frac{dr}{d\theta}\) - производная \(r\) по \(\theta\).

Давайте сначала найдем производную \(r\) для первой кривой \(r = 1 - \cos(\theta)\).

\[ \frac{dr}{d\theta} = \sin(\theta) \]

Теперь мы можем выразить длину дуги \(L\) между двумя угловыми точками \(\theta_1\) и \(\theta_2\) на этой кривой:

\[ L = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{(1 - \cos(\theta))^2 + \sin^2(\theta)} d\theta \]

Далее, у вас есть вторая кривая \(r = 1\), которая представляет собой окружность с радиусом 1. Вы также можете выразить длину дуги этой окружности между двумя угловыми точками \(\theta_1\) и \(\theta_2\) следующим образом:

\[ L_{\text{окружность}} = 1 \cdot (\theta_2 - \theta_1) \]

Теперь у вас есть длины дуги для обеих кривых, и вы можете сравнить их между двумя заданными угловыми точками, чтобы определить, какая из них больше.

Обратите внимание, что для выполнения этого вычисления вам нужно знать значения угловых точек \(\theta_1\) и \(\theta_2\), между которыми вы хотите найти длину дуги на обеих кривых.