Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=(x+1)², y²=x, y=1, y=0.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

x = -1 x = 1

площадь равна: интеграл от -1 до 1 ( 1- x^2) = (в силу симметрии ) = 2*интеграл от 0 до 1 (1-x^2 ) = 2*(1 — 1^3/3) =4/3

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной указанными линиями, мы можем использовать интегралы и геометрические методы. Давайте разобьем эту задачу на несколько шагов для более подробного объяснения.

Шаг 1: Найти точки пересечения линий

Первым шагом является определение точек пересечения между линиями. Для этого решим систему уравнений, состоящую из уравнений этих линий.

Уравнение кривой y = (x + 1)² - это парабола, симметричная относительно оси y и с вершиной в точке (-1, 0).

Уравнение y² = x - это парабола с вершиной в начале координат (0, 0).

Уравнение y = 1 - это горизонтальная прямая на уровне y = 1.

Уравнение y = 0 - это ось x.

Определим точки пересечения этих линий:

1. Парабола (y = (x + 1)²) и парабола (y² = x): Решим систему уравнений (x + 1)² = x: x² + 2x + 1 = x x² + x + 1 = 0

Решения этого квадратного уравнения будут комплексными числами.

2. Парабола (y = (x + 1)²) и горизонтальная прямая (y = 1): Подставим y = 1 в уравнение параболы: 1 = (x + 1)² √1 = x + 1 x = 0

3. Парабола (y = (x + 1)²) и ось x (y = 0): Подставим y = 0 в уравнение параболы: 0 = (x + 1)² x = -1

Таким образом, точки пересечения линий: (-1, 0), (0, 1).

Шаг 2: Вычислить площади между линиями и осью x

Теперь, когда у нас есть точки пересечения, мы можем разделить фигуру на несколько областей и вычислить площадь каждой области отдельно.

Область между параболой (y = (x + 1)²) и осью x: Для вычисления площади этой области мы можем использовать определенный интеграл. Интеграл от y = 0 до y = (x + 1)² по оси x даст нам площадь этой области.

Площадь этой области будет равна: ∫[x=-1 to x=0] (x + 1)² dx

Шаг 3: Вычислить площадь оставшейся области

Область между параболой (y = (x + 1)²) и горизонтальной прямой (y = 1): Эта область ограничена снизу параболой (y = (x + 1)²) и сверху горизонтальной прямой (y = 1). Мы можем вычислить площадь этой области, вычтя площадь треугольника, ограниченного точками пересечения (0, 1), (-1, 0) и вершиной параболы (-1, 0).

Площадь этой области будет равна: Площадь под параболой (y = (x + 1)²) - Площадь треугольника

Шаг 4: Сложить площади областей

После вычисления площадей каждой области мы можем сложить их, чтобы получить общую площадь фигуры, ограниченной указанными линиями.

Примечание: Для вычисления интегралов и площадей между кривыми можно использовать математические методы или программные инструменты, такие как интегральные калькуляторы или программы для символьной математики, такие как Wolfram Alpha или Python с библиотекой sympy.