Question

Найдите суммарную длину промежутков возрастания функции f(x) = sin(1/x)

Answer 1

f'(x) = -(1/х²)*cos(1/x)

f'(x) ≥ 0

-(1/х²)*cos(1/x) ≥ 0

-(1/х²)<0 при любом х≠0, поэтому cos(1/x) ≤0

π/2+2πn≤(1/x)≤3π/2+2πn; n∈Z

1/(3π/2+2πn)≤х≤1/(π/2+2πn); п∈z

Длина интервала возрастания 1/(π/2+2πn)-1/(3π/2+2πn)=

2/(π+4πn)-2/(3π+4πn)=(2/π)*((3+4n-1-4n)/((1+4n)*(3+4n)=

(4/π)*(1/((1+4n)*(3+4n))=4/π*(π/4)=1

Answer 2

Я попробую ответить на ваш вопрос подробно. Найдите суммарную длину промежутков возрастания функции f(x) = sin(1/x).

Для этого нам нужно найти производную функции f(x) и определить, на каких интервалах она положительна. Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем:

f'(x) = (sin(1/x))' = cos(1/x) * (1/x)' = -cos(1/x) / x^2

Функция f(x) возрастает там, где f'(x) > 0, то есть там, где cos(1/x) < 0. Это происходит, когда 1/x принадлежит промежуткам (2k-1)π/2 < 1/x < (2k+1)π/2, где k - любое целое число. Решая эти неравенства относительно x, получаем:

(2k+1)/π < x < (2k-1)/π, если x > 0

(2k-1)/π < x < (2k+1)/π, если x < 0

Это бесконечное множество интервалов возрастания функции f(x). Чтобы найти их суммарную длину, нужно сложить длины каждого интервала и взять предел при k стремящемся к бесконечности. Длина каждого интервала равна:

|((2k-1)/π) - ((2k+1)/π)| = 2/π

Суммарная длина равна:

lim(k→∞) ∑(n=0 to k) 2/π = lim(k→∞) (k+1) * 2/π = ∞

Таким образом, суммарная длина промежутков возрастания функции f(x) = sin(1/x) равна бесконечности.

Надеюсь, это помогло вам понять решение задачи. Вы можете найти больше информации о производных и монотонности функций на этих сайтах: [ЕГЭ–2023: задания, ответы, решения - sdamgia](https://ege.sdamgia.ru/problem?id=8353), [Алгебра 10-11 класс. Исследование ... - math100.ru](https://math100.ru/algebra10-11_6_3/).