Question

Будет ли метрикой на R p(x,y)=sqrt(|x-y|)

Answer 1

Будет метрикой, если выполняются все три следующие аксиомы:

$1.~\rho(x,y)=0~~~\LeftRightarrow~~ x=y$ - аксиома тождества

$2.~\rho(x,y)=\rho(y,x)$ - аксиома симметрии

$3.~\rho(x,z)\leq \rho(x,y)+\rho(y,z)$ - аксиома треугольника

$1.~ \rho(x,y)=0~~\Rightarrow~~ \sqrt{|x-y|} =0~\Rightarrow~ |x-y|=0~~\Rightarrow~~ x-y=0~~\Rightarrow ~x=y$

В обратном

$x=y~\Rightarrow~~ x-y=0~\Rightarrow~~|x-y|=0~~\Rightarrow~~\sqrt{|x-y|}=0~~\Rightarrow~~ \rho(x,y)=0$

2. $\rho(x,y)=\sqrt{|x-y|} =\sqrt{|y-1|} =\rho(y,x)$

3. $\forall x,y,z~ ~\rho(x,y)=\sqrt{|x-y|}=\sqrt{|x-z+z-y|}=\sqrt{|x-z|+|z-y|}\leq\\ \\ \leq \rho(x,z)+\rho(z,y)$

Последнее неравенство можно показать возведением в квадрат

Answer 2

Конечно, я готов помочь. Если я правильно понял вас, вы хотите использовать функцию расстояния \(p(x, y) = \sqrt{|x - y|}\) в качестве метрики на пространстве \(R\). Чтобы убедиться, что это действительно метрика, мы должны проверить три основных свойства: 1. **Неотрицательность**: \(p(x, y) \geq 0\) для всех \(x\) и \(y\), причем \(p(x, y) = 0\) тогда и только тогда, когда \(x = y\). В нашем случае, \(p(x, y) = \sqrt{|x - y|}\). Эта функция действительно неотрицательна для всех \(x\) и \(y\), и она равна нулю только тогда, когда \(x = y\), что соответствует свойству метрики. 2. **Симметричность**: \(p(x, y) = p(y, x)\) для всех \(x\) и \(y\). Здесь также нет проблем, потому что \(|x - y| = |y - x|\) и \(\sqrt{a} = \sqrt{b}\) если и только если \(a = b\). 3. **Неравенство треугольника**: \(p(x, y) + p(y, z) \geq p(x, z)\) для всех \(x\), \(y\) и \(z\). В нашем случае, \(p(x, y) = \sqrt{|x - y|}\). Давайте проверим это неравенство: \[ \sqrt{|x - y|} + \sqrt{|y - z|} \geq \sqrt{|x - z|} \] Это неравенство, кажется, не всегда соблюдается. Например, если \(x = 1\), \(y = 4\) и \(z = 2\), то: \[ \sqrt{|1 - 4|} + \sqrt{|4 - 2|} = 3 + 2 = 5 \geq \sqrt{|1 - 2|} = 1 \] Но \(5 \ngeq 1\), так что это не является метрикой в обычном понимании. Итак, хотя \(p(x, y) = \sqrt{|x - y|}\) удовлетворяет первым двум свойствам метрики (неотрицательность и симметричность), она не удовлетворяет неравенству треугольника, что делает ее неподходящей в качестве метрики в пространстве \(R\). Если у вас есть другие вопросы, пожалуйста, дайте знать!