Question

Вычислить интеграл {dx/sqrt 1-9x^2 Смотреть ответ Участник Знаний Участник Знаний

Answer 1

Для вычисления данного интеграла, который записан в виде:

∫(dx / √(1 - 9x^2)),

мы можем воспользоваться методом замены переменной. Для этого сделаем следующую замену:

u = 1 - 9x^2,

тогда:

du/dx = -18x, dx = du / (-18x).

Теперь выражаем x через u:

u = 1 - 9x^2, 9x^2 = 1 - u, x^2 = (1 - u) / 9, x = ±√((1 - u) / 9).

При интегрировании, следует учесть, что исходный интеграл имеет знак dx в числителе, поэтому нужно рассмотреть два отдельных интеграла для каждого значения x:

∫(dx / √(1 - 9x^2)) = ∫(du / (-18x * √u)).

Теперь разобьем интеграл на два:

∫(dx / √(1 - 9x^2)) = ∫(du / (-18 * √u * √(1 - u) / 9)).

Сократим на 9:

∫(dx / √(1 - 9x^2)) = ∫(du / (-2 * √u * √(1 - u))).

Теперь произведем интегрирование:

∫(dx / √(1 - 9x^2)) = -2 ∫(√(1 - u) / √u) du.

Для интегрирования функции √(1 - u) / √u можно сделать замену:

v = √u, dv = (1 / (2√u)) du, du = 2v dv.

Тогда интеграл примет вид:

-2 ∫(√(1 - u) / √u) du = -2 ∫(v * (1 - v^2)) dv.

Теперь интегрируем:

-2 ∫(v * (1 - v^2)) dv = -2 ∫(v - v^3) dv = -2 * (v^2 / 2 - v^4 / 4) + C,

где C - константа интегрирования.

Теперь подставим обратно выражение для v:

-2 * (v^2 / 2 - v^4 / 4) + C = -v^2 + v^4 / 2 + C.

Возвращаемся к исходной переменной:

v = √u, -√u + u^2 / 2 + C.

Теперь возвращаемся к исходной переменной x:

u = 1 - 9x^2, -√(1 - 9x^2) + (1 - 9x^2)^2 / 2 + C.

Таким образом, окончательный ответ:

∫(dx / √(1 - 9x^2)) = -√(1 - 9x^2) + (1 - 9x^2)^2 / 2 + C.