Question

Найдите, при каких значениях числа а система уравнений имеет два решения {х² +y² = 4,{x+y=a​ Смотреть ответ iosiffinikov iosiffinikov Ответ: -2*sqrt(2)<a<2*sqrt(2) Пошаговое объяснение: Первое уравнение  - это уравнение окружности с центром в (0,0) и радиусом 2. Втрое : уравнение прямой у=а-х. Если а меньше 2*sqrt(2)   и больше -2*sqrt(2) прямая сечет окружность в двух точках.

Answer 1

Давайте решим систему уравнений:

1. x² + y² = 4 - это уравнение окружности с центром в (0, 0) и радиусом 2.

2. x + y = a - это уравнение прямой в общем виде.

Для того чтобы найти значения числа а, при которых система имеет два решения, нужно найти случаи, когда прямая пересекает окружность в двух точках.

Итак, у нас есть два уравнения:

1. x² + y² = 4
2. x + y = a

Мы можем решить уравнение прямой (2) относительно одной из переменных, например, y:

y = a - x

Теперь подставим это значение y в уравнение окружности (1):

x² + (a - x)² = 4

Раскроем скобки:

x² + (a - x)(a - x) = 4 x² + (a² - 2ax + x²) = 4

Объединим переменные x²:

2x² - 2ax + (a² - 4) = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно x. Для того чтобы у него было два решения, дискриминант должен быть положительным:

D = b² - 4ac

D = (-2a)² - 4 * 2 * (a² - 4)

D = 4a² - 8(a² - 4)

D = 4a² - 8a² + 32

D = -4a² + 32

Чтобы уравнение имело два решения, D > 0:

-4a² + 32 > 0

Теперь решим неравенство:

-4a² + 32 > 0 4a² < 32 a² < 8 |a| < √8 |a| < 2√2

Так как a² не может быть отрицательным (так как оно представляет квадрат числа a), то можем записать:

-2√2 < a < 2√2

Таким образом, система имеет два решения при значениях числа a, находящихся в интервале -2√2 < a < 2√2.