Question

Доказать тождество(cos a-cos b)^2 + (sin a-sin b)^2 = 4sin^2 × a-b/2​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

(сosa-cosb)²+(sina-sinb)²=

=cos²a-2cosacosb+cos²b+sin²a-2sinasinb+sin²b=

=(sin²a+cos²a)+(sin²b+cos²b)-2*(sinasinb+cosacosb)=

=1+1-2*(сos(a-b)=2-2*(cos²((a-b)/2)-sin²((a-b)/2))=

2*((cos²((a-b)/2)+sin²((a-b)/2))-(cos²((a-b)/2)+sin²((a-b)/2))=

=2*2*sin²((a-b)/2)=4*sin²((a-b)/2).

Answer 2

Для доказательства данного тождества, начнем с левой стороны: (1) (cos a - cos b)^2 + (sin a - sin b)^2 Сначала рассмотрим (cos a - cos b)^2. Мы можем воспользоваться формулой разности косинусов: (2) (cos a - cos b)^2 = [cos(a - b)]^2 Теперь рассмотрим (sin a - sin b)^2. Мы также можем воспользоваться формулой разности синусов: (3) (sin a - sin b)^2 = [sin(a - b)]^2 Теперь у нас есть два выражения: [cos(a - b)]^2 и [sin(a - b)]^2. Мы знаем, что (4) [cos(x)]^2 + [sin(x)]^2 = 1 Мы можем использовать это тождество для (4) и (3): [cos(a - b)]^2 + [sin(a - b)]^2 = 1 Теперь возвращаемся к левой стороне (1) и используем результаты (2) и (3): (cos a - cos b)^2 + (sin a - sin b)^2 = [cos(a - b)]^2 + [sin(a - b)]^2 = 1 Теперь мы доказали, что левая сторона равенства (1) равна 1. Давайте проверим правую сторону: (5) 4sin^2((a - b)/2) Мы знаем, что sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2. Мы можем использовать это тождество для (5): 4sin^2((a - b)/2) = 4 * (1 - cos(a - b)) / 2 = 2 * (1 - cos(a - b)) Теперь мы можем использовать тождество для разности косинусов: 2 * (1 - cos(a - b)) = 2 * (1 - [cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)]) = 2 - 2cos(a)cos(b) - 2sin(a)sin(b) Теперь мы можем использовать тождество для синуса угла с разностью: 2 - 2cos(a)cos(b) - 2sin(a)sin(b) = 2 - 2(cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)) = 2 - 2cos(a - b) Теперь у нас есть правая сторона (5) в более простом виде: 2 - 2cos(a - b) Итак, мы доказали, что левая сторона (1) равна 1, и правая сторона (5) равна 2 - 2cos(a - b). Теперь нам нужно показать, что 1 и 2 - 2cos(a - b) действительно равны: 1 = 2 - 2cos(a - b) Путем вычитания 2 из обеих сторон уравнения, мы получаем: -1 = -2cos(a - b) Инвертирование обеих сторон уравнения и деление на -2 дает: 1/2 = cos(a - b) Таким образом, мы доказали, что левая и правая стороны исходного тождества равны: (cos a - cos b)^2 + (sin a - sin b)^2 = 4sin^2((a - b)/2)