Question

Найти sin^3x+ cos^3x, если sinx+ cosx= корень из 2

Answer 1

Пусть sin(x)=a где -1<=a=>1 , а cos(x)=b где -1<=b=>1.
a+b= $\sqrt{2}$
$a+ \sqrt{1- a^{2}} = \sqrt{2} }$ (чтобы было поменьше корней перенесем  $\sqrt{1- a^{2} }$ направо и поднесем к квадрату.
$a^{2} -2 \sqrt{2} a+2=1- a^{2}$
$2 a^{2} -2 \sqrt{2} a+1$
D=0; a= $\frac{2 \sqrt{2} }{4} = \frac{ \sqrt{2} }{2}$
Тогда b= $\sqrt{2} - \frac{ \sqrt{2} }{2} = \frac{ \sqrt{2} }{2}$
$a^{3} + b^{3}$= $\frac{ \sqrt{2}^3 }{8} + \frac{ \sqrt{2}^3 }{8}= \frac{\sqrt{2}^3 }{4} = \frac{ \sqrt{2}^3 }{ \sqrt{2}^4 }= \frac{1}{ \sqrt{2} }$
Ответ: $\frac{1}{ \sqrt{2} }$

Answer 2

Дано: sinx + cosx = √2

Хотим найти: sin^3x + cos^3x

Мы можем выразить sin^3x и cos^3x через sinx и cosx, используя формулу суммы кубов:

a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

Применяем эту формулу:

sin^3x + cos^3x = (sinx + cosx)(sin^2x - sinx*cosx + cos^2x)

У нас уже есть выражение для sinx + cosx, мы можем его подставить:

sin^3x + cos^3x = (√2)(sin^2x - sinx*cosx + cos^2x)

Мы также можем заметить, что sin^2x + cos^2x = 1, по формуле тригонометрии (тождество Пифагора).

Подставляем это выражение:

sin^3x + cos^3x = (√2)(1 - sinx*cosx)

Теперь нам нужно выразить sinx*cosx через sinx + cosx. Мы можем использовать известное тождество Пифагора снова:

(sin^2x + cos^2x)^2 = 1

(sin^2x + cos^2x)^2 - 2(sin^2x*cos^2x) = 1

(sin^4x + 2sin^2x*cos^2x + cos^4x) - 2(sin^2x*cos^2x) = 1

(sin^4x + cos^4x) + (2sin^2x*cos^2x - 2sin^2x*cos^2x) = 1

(sin^4x + cos^4x) = 1

sin^4x + 2sin^2x*cos^2x + cos^4x = 1

(sin^2x + cos^2x)^2 = 1

1^2 = 1

Таким образом, sin^4x + cos^4x = 1.

Подставляем это в предыдущее выражение:

sin^3x + cos^3x = (√2)(1 - sinx*cosx)
= (√2)(1 - (sin^2x + cos^2x))
= (√2)(1 - 1)
= 0

Итак, sin^3x + cos^3x = 0.