Question

Найти производную функции при данном значении аргумента 1) f(x)=sin^2x, x=П/4 2)F(x)=ln cos x, x= -П/3 3)f(t)=sin t - cos^2t, t=0 4)f(z)=ln tg z, z=П/4 5)f(x)=e^sinx, x=0

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Давайте по очереди найдем производные указанных функций в заданных точках.

1) Функция f(x) = sin^2(x), x = π/4: Для нахождения производной этой функции в точке x = π/4, используем правило цепочки (chain rule). Первая производная sin^2(x) равна: f'(x) = 2sin(x)cos(x)

Теперь подставим x = π/4: f'(π/4) = 2sin(π/4)cos(π/4) f'(π/4) = 2(√2/2)(√2/2) f'(π/4) = 2/2 f'(π/4) = 1

2) Функция F(x) = ln(cos(x)), x = ±π/3: Производная функции ln(cos(x)) равна: F'(x) = -tan(x)

Теперь подставим x = π/3: F'(π/3) = -tan(π/3) F'(π/3) = -√3

Теперь подставим x = -π/3: F'(-π/3) = -tan(-π/3) F'(-π/3) = √3

3) Функция f(t) = sin(t) - cos^2(t), t = 0: Производная функции f(t) равна: f'(t) = cos(t) + 2cos(t)sin(t)

Теперь подставим t = 0: f'(0) = cos(0) + 2cos(0)sin(0) f'(0) = 1 + 2 * 0 * 0 f'(0) = 1

4) Функция f(z) = ln(tan(z)), z = π/4: Производная функции ln(tan(z)) равна: f'(z) = sec^2(z) / tan(z)

Теперь подставим z = π/4: f'(π/4) = sec^2(π/4) / tan(π/4) f'(π/4) = (2/√2)^2 / 1 f'(π/4) = 4/2 f'(π/4) = 2

5) Функция f(x) = e^sin(x), x = 0: Производная функции e^sin(x) равна: f'(x) = e^sin(x)cos(x)

Теперь подставим x = 0: f'(0) = e^sin(0)cos(0) f'(0) = e^0 * 1 f'(0) = 1

Итак, мы нашли производные указанных функций в заданных точках.