Question

Остапу Бендеру пришла в голову отличная идея: открыть контору под названием «Быстроденьги» по одалживанию денег населению на короткий срок. Но денег на открытие конторы, конечно, не было, и наш герой решил обратиться в банк за кредитом в размере 3990 долларов сроком на три месяца. Менеджер банка объяснил Остапу, что существуют две схемы выплаты кредита. Согласно первой схеме («аннуитетные платежи»), банк в конце каждого месяца начисляет проценты на оставшуюся сумму (то есть увеличивает сумму долга на 30%), а клиент в этот же день переводит в банк фиксированную сумму. Таким образом, долг погашается тремя равными платежами. Согласно второй схеме («дифференцированные платежи»), банк в конце каждого месяца также начисляет проценты на оставшуюся сумму (то есть увеличивает сумму долга на 30%), а клиент в этот же день переводит в банк некоторую сумму в погашение. Однако данные платежи подбираются так, чтобы в результате сумма долга в конце каждого последующего месяца была ровно на одну и ту же величину меньше долга в конце предыдущего месяца. «Эта арифметика не для меня, – подумал Бендер. – Пусть этим занимается Киса Воробьянинов». Киса Воробьянинов оценил схемы и выбрал из них наиболее выгодную для Остапа. Сколько долларов сэкономит Бендер благодаря Кисе?

Answer 1

По второй схеме после первого платежа долг должен остаться 2660, после второго - 1330, а третьим платежом долг надо закрыть.
Первый платеж = 3990*1,3-2660 = 2527
Второй платеж = 2660*1,3-1330 = 2128
Третий платеж = 1330*1,3 = 1729
Всего по второму плану = 2527+2128+1729 = 6384

По первой схеме надо ежемесячно платить X.
Тогда после трех месяцев погашения получим
$((3990*1,3-X)*1,3 -X)*1,3 - X = 0\\ (3990*1,3-X)*1.3^2 = 2.3X\\ X = 3990*1.3/(\frac{2.3}{1.3^2}+1)=6938.81$

Таким образом по второму плану заплатить надо на 554,81 меньше

Answer 2

Для определения, какая из схем выплаты кредита (аннуитетные или дифференцированные платежи) выгоднее, мы можем провести вычисления для каждой из них и сравнить, сколько долларов Остап Бендер сэкономит благодаря Кисе Воробьянинову.

Для начала, давайте рассмотрим схему аннуитетных платежей:

Сумма кредита: 3990 долларов Процентная ставка: 30% (0.30) в месяц Срок кредита: 3 месяца

Сначала мы должны рассчитать размер ежемесячного аннуитетного платежа с помощью формулы:

PMT = P * (r * (1 + r)^n) / ((1 + r)^n - 1)

Где: PMT - ежемесячный аннуитетный платеж P - сумма кредита (3990 долларов) r - месячная процентная ставка (0.30) n - количество месяцев (3)

PMT = 3990 * (0.30 * (1 + 0.30)^3) / ((1 + 0.30)^3 - 1) PMT ≈ 1676.15 долларов

Таким образом, по схеме аннуитетных платежей, Остап Бендер должен выплачивать около 1676.15 долларов каждый месяц в течение 3 месяцев.

Теперь давайте рассмотрим схему дифференцированных платежей:

Мы знаем, что банк также начисляет 30% процентов на оставшуюся сумму каждый месяц. Однако сумма платежей подбирается так, чтобы каждый месяц долг уменьшался на одну и ту же величину. Мы можем рассчитать эту величину следующим образом:

Первый месяц:

• Остаток долга: 3990 долларов
• Проценты: 3990 * 0.30 = 1197 долларов
• Платеж: 3990 + 1197 = 5187 долларов

Второй месяц:

• Остаток долга: 3990 - X (где X - искомая величина)
• Проценты: (3990 - X) * 0.30
• Платеж: (3990 - X) + (3990 - X) * 0.30

Таким образом, мы должны решить уравнение и найти X:

X + X * 0.30 = 1676.15 (ежемесячный аннуитетный платеж)

1.30X = 1676.15

X ≈ 1289.35 долларов

Таким образом, каждый месяц Остап Бендер должен платить около 1289.35 долларов, и долг будет уменьшаться на одну и ту же величину каждый месяц.

Теперь давайте сравним общие выплаты по обоим схемам:

Схема аннуитетных платежей: 3 месяца * 1676.15 долларов = 5028.45 долларов

Схема дифференцированных платежей: 1 месяц * 5187 долларов + 1 месяц * 1289.35 долларов + 1 месяц * 1289.35 долларов = 7765.70 долларов

Сэкономленная сумма благодаря схеме дифференцированных платежей: 5028.45 - 7765.70 ≈ -2737.25 долларов

Остап Бендер сэкономит примерно 2737.25 долларов, выбрав схему дифференцированных платежей.