Question

Интеграл от 3pi/8 до pi/8 12 sin( pi/8 -x) cos (pi/8 - x) dx Ответ должен быть sqrt3/4

Answer 1

Решение во вложении
решила еще вчера, с ответом "не сходится"

Answer 2

  π/8                                          π/8                        3 π/8
   ∫12 sin(π/8-x)·cos(π/8-x)dx= ∫ 6sin(π/4-2x)dx=6∫sin(π/4-2x)dx=
  3π/8                                      3π/8                         π/8
                    3π/8                          
=3cos(π/4-2x)l=   =3(cos(π/4-6π/8)-cos(π/4-2π/8)=3(cos(π/4-3π/4)-
                      π/8       
-cos0=3 (0-1)=3            

Answer 3

Для решения данного интеграла сначала заметим, что функция под знаком интеграла является произведением двух тригонометрических функций - синуса и косинуса. Чтобы упростить интеграл, мы можем использовать формулу тригонометрического тождества для произведений функций:

sin(a) * cos(b) = (1/2) * [sin(a + b) + sin(a - b)]

Применим эту формулу к нашему интегралу:

∫[3π/8, π/8] 12sin(π/8 - x)cos(π/8 + x) dx

= 12 * ∫[3π/8, π/8] (1/2) * [sin(π/4) * cos(2x) + cos(π/4) * sin(2x)] dx

= 6 * ∫[3π/8, π/8] (1/2) * [sin(2x + π/4) + sin(2x - π/4)] dx

Теперь мы можем интегрировать каждое слагаемое по отдельности. Для этого воспользуемся формулой для интеграла синуса:

∫ sin(ax) dx = -1/a * cos(ax) + C

Применим эту формулу к первому слагаемому:

6 * ∫[3π/8, π/8] (1/2) * sin(2x + π/4) dx

= -6 * (1/2) * (1/2) * [cos(2x + π/4)] [3π/8, π/8]

= -3 * (1/2) * [cos(2(π/8) + π/4) - cos(2(3π/8) + π/4)]

= -3 * (1/2) * [cos(π/4) - cos(3π/4)]

= -3 * (1/2) * [1/√2 - (-1/√2)]

= -3 * (1/2) * [1/√2 + 1/√2]

= -3 * (1/2) * (2/√2)

= -3/√2

Аналогично, применим формулу для интеграла синуса ко второму слагаемому:

6 * ∫[3π/8, π/8] (1/2) * sin(2x - π/4) dx

= -6 * (1/2) * (1/2) * [cos(2x - π/4)] [3π/8, π/8]

= -3 * (1/2) * [cos(2(π/8) - π/4) - cos(2(3π/8) - π/4)]

= -3 * (1/2) * [cos(-π/4) - cos(π/4)]

= -3 * (1/2) * [-1/√2 - 1/√2]

= -3 * (1/2) * (-2/√2)

= 3/√2

Теперь сложим значения двух интегралов:

-3/√2 + 3/√2 = 0

Таким образом, значение данного интеграла равно 0, а не sqrt(3)/4, как указано в вопросе. Возможно, там была опечатка или ошибка в записи.