Question

Найти производную сложной функции Y=log2 √x/x+1

Answer 1

Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции, умноженной на производную от внутренней функции.

Answer 2

Для нахождения производной сложной функции Y = log₂(√x / (x + 1)), мы воспользуемся правилами дифференцирования. Сначала разберемся с внутренней функцией (аргументом логарифма), а затем применим правило дифференцирования логарифма.

1. Внутренняя функция: u(x) = √x / (x + 1).

2. Давайте найдем производную внутренней функции u(x) по правилам дифференцирования:

u(x) = √x / (x + 1)

u'(x) = [√x]' / (x + 1) + √x * [(x + 1)^(-1)]'

Для первого члена слагаемого, используем правило дифференцирования корня: [√x]' = (1/2) * x^(-1/2)

Для второго члена, используем правило дифференцирования (x + 1)^(-1): [(x + 1)^(-1)]' = -1 * (x + 1)^(-2)

Теперь объединим это:

u'(x) = (1/2) * x^(-1/2) / (x + 1) - √x / (x + 1)^2

3. Теперь применим правило дифференцирования логарифма для функции Y:

Y = log₂(u(x))

Y'(x) = (1/u(x)) * u'(x)

Заменяем u(x) и u'(x) в уравнении:

Y'(x) = (1 / (√x / (x + 1))) * ((1/2) * x^(-1/2) / (x + 1) - √x / (x + 1)^2)

Далее упростим это выражение:

Y'(x) = (1 / (√x / (x + 1))) * ((1/2) * x^(-1/2) / (x + 1) - √x / (x + 1)^2)

Теперь можно упростить дробь (1 / (√x / (x + 1))):

Y'(x) = (x + 1) * ((1/2) * x^(-1/2) / (x + 1) - √x / (x + 1)^2)

Осталось упростить эту формулу, умножив каждый член на (x + 1):

Y'(x) = (1/2) * x^(-1/2) - √x / (x + 1)

Это и есть производная сложной функции Y = log₂(√x / (x + 1)).