Question

Найдите сумму X0+Y0, где (X0;Y0)- решение системы уравнений {log2 (x-y) = 5- log2 (x+y) {(lg x - lg 4)/(lg y - lg3)=-1 Смотреть ответ pushpull pushpull Ответ: Пошаговое объяснение: сперва разберемся с первым уравнением системы log₂(x-y) = 5- log₂(x+y) представим 5 в виде log₂2⁵ тогда у нас получится log₂(x-y) =  log₂2⁵- log₂(x+y) или x² - y² = 32     это первое уравнение нашей системы теперь рассмотрим второе уравнение   ⇒  xy = 12  и это второе уравнение нашей системы тогда мы имеем вот в общем-то и всё. дальше чисто вычисления из второго выражаем  х= 12/у  и подставляем в первое z₁=4;  z₂ = -36     z₂ нас не интересует, поскольку у₂ не может быть < 0 z = 4 ⇒  y = ± 4 y₁ = -2  x₁ = 12/(-2)= -6  но по определению логарифма должно быть x >0 b y > 0, значит эта пара корней нам не подходит y₂ = 2  x₂ = 12/(2)= 6 проверяем на все огараничения x - y  > 0 x >  y     выполняется х, у > 0       выполняется эта пара и есть корни нашей системы тогда ответ     х₀ + у₀ = 8 зеленый график это уравнение  log₂(x-y) = 5- log₂(x+y) фиолетовый график это уравнение         на втором рисунке более общий вид графиков пожалуйста -)) Блин просто лучшая, спасибо огромное

Answer 1

Давайте найдем сумму X₀ + Y₀, где (X₀; Y₀) - решение данной системы уравнений:

1. Начнем с первого уравнения: log₂(x - y) = 5 - log₂(x + y)

   Представим 5 в виде log₂2⁵: log₂(x - y) = log₂32 - log₂(x + y)

   Заметим, что log₂32 = 5, поэтому у нас получится: log₂(x - y) = 5 - log₂(x + y)

2. Теперь рассмотрим второе уравнение: (lg x - lg 4) / (lg y - lg 3) = -1

   Упростим выражение, заметив, что lg 4 = 2 и lg 3 = 1: (lg x - 2) / (lg y - 1) = -1

3. Теперь у нас есть два уравнения: log₂(x - y) = 5 - log₂(x + y) (lg x - 2) / (lg y - 1) = -1

4. Рассмотрим первое уравнение: log₂(x - y) = 5 - log₂(x + y)

   Представим 5 в виде log₂2⁵: log₂(x - y) = log₂32 - log₂(x + y)

   Следовательно: x² - y² = 32

5. Теперь рассмотрим второе уравнение: (lg x - 2) / (lg y - 1) = -1

   Умножим обе стороны на (lg y - 1): lg x - 2 = -lg y + lg y - 1

   Упростим: lg x - 2 = -1

   Теперь прибавим 2 к обеим сторонам: lg x = 1

   Представим это в виде уравнения: 10^1 = x

   Получаем: x = 10

6. Теперь у нас есть два уравнения: x² - y² = 32 x = 10

   Подставим значение x в первое уравнение: 10² - y² = 32

   Упростим: 100 - y² = 32

   Выразим y²: y² = 100 - 32 y² = 68

   Извлечем квадратный корень и учтем, что y > 0: y = √68 y = 2√17

Таким образом, у нас есть два решения:

1. x = 10, y = 2√17
2. x = 10, y = -2√17

Сумма X₀ + Y₀ будет равна:

1. X₀ + Y₀ = 10 + 2√17
2. X₀ + Y₀ = 10 - 2√17

Таким образом, ответ будет иметь два значения:

1. X₀ + Y₀ = 10 + 2√17
2. X₀ + Y₀ = 10 - 2√17