Question

Z=cos (2x^2-y) найти dz

Answer 1

$z=cos(2x^2-y)\\\\dz=z'_{x}dx+z'_{y}dy\\\\dz=-sin(2x^2-y)\cdot 4x\cdot dx-sin(2x^2-y)\cdot (-1)\cdot dy\\\\dz=-4x\cdot sin(2x^2-y)dx+sin(2x^2-y)dy\\\\dz=sin(2x^2-y)\cdot (-4x\, dx+dy)$

Answer 2

Чтобы найти частную производную функции Z = cos(2x^2 - y) по переменным x и y, мы будем брать производные каждого члена функции по отдельности. Давайте начнем с частной производной по x (dz/dx):

Z = cos(2x^2 - y)

Частная производная по x:

dz/dx = d/dx [cos(2x^2 - y)]

Для нахождения производной косинуса, мы можем использовать цепное правило (chain rule). Если u = 2x^2 - y, то:

dz/dx = d/dx [cos(u)] = -sin(u) * d/dx[u]

Теперь найдем производную u = 2x^2 - y по x:

du/dx = d/dx [2x^2 - y] = 4x

Теперь мы можем выразить dz/dx:

dz/dx = -sin(u) * du/dx = -sin(2x^2 - y) * 4x

Теперь давайте найдем частную производную Z по y (dz/dy):

dz/dy = d/dy [cos(2x^2 - y)]

Снова используем цепное правило:

dz/dy = -sin(u) * d/dy[u]

Найдем производную u = 2x^2 - y по y:

du/dy = d/dy [2x^2 - y] = -1

Теперь можем выразить dz/dy:

dz/dy = -sin(u) * du/dy = -sin(2x^2 - y) * (-1) = sin(2x^2 - y)

Итак, мы нашли частные производные функции Z = cos(2x^2 - y) по переменным x и y:

dz/dx = -4x * sin(2x^2 - y) dz/dy = sin(2x^2 - y)