Question

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, решить задание, очень нужно: Найдите производную функции: y=∛((1-x)^2 ), вычислите y(-7)

Answer 1

Корень у нас нечётной степени, поэтому можно переписать его в виде степени 1/3 и область определения при этом не изменится:

$y=\sqrt[3]{(1-x)^2}=(1-x)^{2/3}\\y'=\dfrac{2}{3}(1-x)^{2/3-1} \cdot (-1)=-\dfrac{2}{3}(1-x)^{-1/3}=-\dfrac{2}{3\sqrt[3]{1-x}}$

$y'(-7)=-\dfrac{2}{3\sqrt[3]{1-(-7)}}=-\dfrac{2}{3\sqrt[3]{8}}=-\dfrac{2}{6}=-\dfrac{1}{3}$

Answer 2

Конечно, давайте решим вашу задачу.

Для нахождения производной функции $y = \sqrt[3]{(1 - x)^2}$ по $x$, нам потребуется использовать правило цепочки (chain rule). Сначала найдем производную внутренней функции $(1 - x)^2$:

$$\frac{d}{dx} (1 - x)^2 = 2(1 - x) \cdot (-1) = -2(1 - x).$$

Теперь найдем производную внешней функции $\sqrt[3]{x}$:

$$\frac{d}{dx} \sqrt[3]{x} = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}.$$

Используя правило цепочки, производная функции $y = \sqrt[3]{(1 - x)^2}$ равна произведению производной внешней функции и производной внутренней функции:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3\sqrt[3]{(1 - x)^2}^2} \cdot (-2(1 - x)).$$

Теперь подставим $x = -7$ в полученное выражение:

$$\frac{dy}{dx} \bigg|_{x=-7} = \frac{1}{3\sqrt[3]{(1 - (-7))^2}^2} \cdot (-2(1 - (-7))).$$

Вычислим значение внутри квадратных скобок: $1 - (-7) = 1 + 7 = 8$. Теперь вычислим корень кубический из 64: $\sqrt[3]{64} = 4$. Подставляем это значение в выражение:

$$\frac{dy}{dx} \bigg|_{x=-7} = \frac{1}{3 \cdot 4^2} \cdot (-2 \cdot 8) = \frac{1}{48} \cdot (-16) = -\frac{16}{48} = -\frac{1}{3}.$$

Таким образом, производная функции $y = \sqrt[3]{(1 - x)^2}$ в точке $x = -7$ равна $-\frac{1}{3}$.